第九章-奇异期权.pptVIP

偏微分方程中增加了对变量I的一阶偏导，是对第三个独立变量的影响的描述。边界条件变为 连续取样平均（续） 这里的P (S, I )表示T时刻的期权回报。 具体运用到算术平均和几何平均期权，偏微分方程分别为 1.更新规则 在离散取样平均中，我们通常使用一个更新规则（Updating Rule）的概念。假设每个取样日为 ，获得的路径依赖变量取值 ，由于取样的离散性，在 之间，路径依赖变量始终为 ，直到 才根据一定的规则更新为 。比如在简单的亚式平均期权中，这个更新规则为： 离散取样平均 2. 离散取样的定价方程 由于更新规则，实际上只有在取样日变量I才发生变化。在取样日之间，I 是常数，因此定价方程与一般的布莱克-舒尔斯偏微分方程相同： 离散取样平均（续） 定义 为无限接近取样日 的时刻， 则为取样日之后无限接近的时刻，期权价格的连续性要求： 离散取样平均（续） 用更新规则表示为 在亚式期权中，只有几何平均期权能得到精确的解析解。几何平均期权的解析价格公式之所以存在，是因为布莱克-舒尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。 几何平均亚式期权 亚式期权中更常见的情况是取算术平均，但是一系列对数正态分 布值的算术平均值并不服从对数正态分布。为了解决这个问题， 人们采用了各种方法，但是仍然无法得到解析的定价公式。对标 的算术平均亚式期权更多的是采用数值方法或以标的几何平均亚 式期权来近似逼近，常见的如下： 算术平均亚式期权 二阶矩近似法 控制方差法 相似变量代换法 能在价格最高点卖出，或在最低点买进，是市场交易者梦寐以求的情形。 回溯期权（Lookback Options）就提供了这样一种可能。 回溯期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称 为回溯时段）中达到的最大或最小价格（又称为回溯价 ），根据是资产价还是执行价采用这个回溯价格，回溯 期权可以分为： 固定执行价期权 浮动执行价期权 回溯期权定价模型中包含路径依赖变量，属于强式路径依赖期权。 可依前述的强式路径依赖定价的思路，根据连续观测和离散观测的不同，将回溯期权定价纳入到布莱克-舒尔斯模型框架中。 但回溯期权的定价和亚式期权有所不同： 亚式期权中平均价必然会随着观测值的增加而改变， 取最值的回溯价则不一定会改变 Goldman, Sosin和Gatto（1979）推导出这个 方程的边界条件是 当 时， 。 最后由回报推出的边界条件是 （固定执行价看涨期权） （浮动执行价看跌期权） 连续观测条件下的回溯期权的定价模型 当 时，最大值不会改变， 。这时我们使用以 作为参数的方程 B. Goldman, H. Sosin, H M. A. Gatto, “Path Dependent Option: Buy at the Low, Sell at the High,” Journal of Finance 34 (December 1979), 1111-1128 离散观测条件下，回溯价是通过离散时间取得的观测值比较形 成的，其更新规则为 这样资产价格可能会在M之上，而且离散观测下的回溯价M更新的 次数要少于连续观测的状态，这使得离散观测的回溯期权价格偏低。 根据上述更新规则，我们可以得到离散观测的回溯期权的跳跃条件： 之后我们可以应用亚式期权一节中所介绍的离散取样的定价方 法，为回溯期权定价 。 离散观测条件下回溯期权的定价 其中M是目前已经实现的最小值。在布莱克-舒尔斯模型框架下， 期权价值为 欧式浮动执行价回溯看涨期权 其中 欧式浮动执行价回溯看涨期权 ， ， ， 。 其中M是目前已经实现的最大值。在布莱克-舒尔斯模型框 架下，期权价值为 欧式浮动执行价回溯看跌期权 其中 欧式浮动执行价回溯看跌期权 ， ， ， 。 回溯期权的定价就经常使用到二叉树模型。 但是，在使用二叉树模型的时候，在每个结点需要考虑到当前为止 不同路径所