第二讲几个特殊矩阵.pptVIP

2 分块矩阵的运算 例如： 例如： (3)乘法 例2 解 对A与B进行分块 分块之后,可以利 用零矩阵和单位 矩阵使运算简化. 则 (4)转置 矩阵运算的基本规律一般都适合分块矩阵. 注 分块矩阵的逆矩阵依分块方法的不同而有不 　 同的分块形式，去掉分块，结果唯一. 例3 设A，B分别为r阶和s阶可逆矩阵，且r+s=n. P是n阶方阵 由已知|P|=|A||B|?0知矩阵P可逆.不妨设 证 利用分块矩阵乘法，得 故矩阵P的逆阵 (1)准对角阵 定义 设A为方阵，若A的分块矩阵只在主对角线上有非 零子块且都是方阵,其余子块都为零矩阵，即 则称A为分块对角阵,也叫拟对角阵或准对角阵. 例如 矩阵的特殊分块法 准对角矩阵运算（以二阶准对角阵为例） 常用的运算： 例4 利用准对角矩阵求方阵A的逆阵. 同学完成 解 1.计算乘积 2.求矩阵的逆矩阵 答 案 练习 按行 按列 (2) 矩阵的按行分块与按列分块 例 5 例6 矩阵A与行向量（列向量）的关系及表示方法示意 * (3)　线性方程组的向量形式 线性方程组 按列划分系数矩阵A 定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都是1， 则称此矩阵为n阶单位矩阵. 单位矩阵在方阵运算中 起到数字“1”的作用. 3 单位矩阵与零矩阵 在数量矩阵中，当a=0时 n阶零阵在方阵运算中 起到数字“0”的作用. 4 线性变换矩阵 例2 (线性变换的系数矩阵) 称此矩阵为上述线性变换的系数矩阵. 线性变换的系数矩阵 称此矩阵为线性变换的系数矩阵. 线性变换与矩阵之间 存在着一一对应关系. 两个简单线性变换 恒等变换 对应一个n阶单位矩阵 对角变换 对应一个n阶对角矩阵 * 例题续 * * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 几种常用的特殊方阵与分块矩阵 　 本部分介绍矩阵的分块方法和相关 的计算.重点介绍准对角阵和按行(列) 分块两类矩阵概念及其相关运算. 本次主要讨论以下问题： 几种常见的特殊矩阵 1 对角阵 2 数量阵 3 单位阵和零阵 4 上（下）三角阵 二 分块矩阵 定义 所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为对角矩阵. 是一个四阶对角矩阵. 当对角元都相等时有： 1 对角矩阵 一 几种常见的特殊矩阵 定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等， 则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵. 例如 2 数量矩阵 显然 单位阵和零矩阵是特殊的数量矩阵. 定义 如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零， 则称此矩阵为上三角矩阵. 如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零， 则称此矩阵为下三角矩阵. A为n阶上三角矩阵；B为n阶下三角矩阵. 3 三角形矩阵 在下列矩阵中,指出三角阵、对角阵、数量阵、单位阵： 练习 定义 如果n阶矩阵A满足A=AT，则称A为对称矩阵. 注：对称矩阵A=（aij）中的元素满足aij=aji， 　　i，j=1，2，…n即A中元素关于主对角线为对称. 性质（1）对称矩阵A与B的和也是对称矩阵; （2）数乘对称矩阵仍为对称矩阵. 4 对称矩阵和反对称矩阵 下面证明(2) 如 是一个三阶对称矩阵. 它的元素关于A的主对角线对称 注1 证(2) 因为 AT=A,所以 (kA)T=kAT=kA, 即kA是对称矩阵. 两个同阶对称矩阵的乘积未必是对称矩阵. 对称阵 非对称阵 注2 所以AB是对称阵.　 证： 例1：设A与B都是n阶对称阵， 　　 证明：当且仅当A与B可交换时，AB是对称阵. 反之，如果AB是对称阵，　 注：对称矩阵A=（aij）中的元素满足aij=-aji， 　　i，j=1，2，…,n，A中主对角线元素为零. 定义 如果n阶矩阵A满足AT =-A ，则称矩阵A为反　 对称矩阵. 性质（1）反对称矩阵A与B的和也是反对称矩阵 （2）数乘反对称矩阵仍为反对称矩阵. 注