传染病的数学模型, 数学建模, 论文.doc

数 学 建 模 论 文 班级：商英1002班 学号：14号 姓名：谭嘉坤 指导老师：周爱群 　　(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性： 　　Sk表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的人数，Hk表示在开始观察后第k天传染病人的人数，Ik表示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么 　　Sk+1=Sk-0.01Sk (1) 　　Hk+1=Hk-0.2Hk0.01Sk (2) 　　Ik+1=Ik+0.2Hk (3) 　　(1)式表示从第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的传染病人的人数是第k天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2Hk(假设该病的患病期为5 　　(3)k＋1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k天后病人痊愈的人数。 　　(1)，(2)和(3)式化简得 　　S0，H0，I0的值，利用上式可以求得S1，H1，I1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值，这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组Sk，Hk，Ik的值。因此，我们把Sk+1，Hk＋1，Ik+1和Sk，Hk，Ik之间的关系式叫做递推关系式。 　　现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为 　　(5)代入(4)式右边得 　　(4)反复计算得表30-1。 　　在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和估计。例如，可以预测若干天后传染病人的人数等等，便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。 　　1％，它只与易受感染者的人数Sk有关。对于有些传染病，情形更为复杂，它不仅与易受感染者的人数有关，也与传染病人的人数Hk有关，因为传染病人的人数越多，传染病的发病率也就越高。这样，就必须将由(1)，(2)和(3)式所给出的模型加以修改。这里，我们假设该地区人口总数为N，是一个常数。于是， Sk=N-(Hk＋Ik) (7) 　　Ik为在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数。设传染病人每天的痊愈率为α，则 Ik+1=Ik+αHk (8) 　　Sk和传染病人的人数Hk均成正比，且其比例因子为β，那么 Hk+1=Hk+βSkHk-αHk (9) 　　(7)，(8)和(9)组合起来，就得到关于Sk，Hk，Ik的递推关系式： 　　N，α和β，并给定S0，H0和I0，那么利用上式就可以计算H1和I1，利用H1和I1，由(7)式，可以计算S1，然后计算H2和I2，再计算S2，……这样，(10)式就给出了关于传染病传播的第2个数学模式。 　　(4)或(10)式可以对该传染病传播的情形作一些定性的分析。 　　Sk=Sk＋1-Skk天到第k+1天易受感染者人数的变化，ΔIk=Ik+1-Ik表示从第k天到第k＋1天免疫者(或感染后痊愈者)人数的变化。从数学模型(4)式可以看到 ΔSk=-0.01Sk≤0 ΔIk=0.2Hk≥0 　　(10)式来说，易受感染者的人数，免疫者的人数以及传染病人的人数各有什么变化规律？ 　　(4)式的情形，分别计算ΔSk，ΔIk与ΔHk(=Hk+1-Hk)，然后加以分析。 　　(10)式得： 　　Sk=N-(Hk+1＋Ik+1)-[N-(Hk+Ik)] 　　 　 =(Ik-Ik+1)+(Hk-Hk+1) 　　　　=-Hk-βSkHk+αHk 　　　　=-SkHk 　　Sk≤0，k=1， 2，…，即易受感染者人数只可能减少不会增加。 　　因为 ΔIk=Ik+αHk-Ik 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =Hk 　　Ik≥0，k=1，2，…，即免疫者人数只可能增加不会减少。 　　Hk=Hk+1-Hk表示从第k天到第k＋1天传染病人的人数的变化，则由(10)式得 Hk=βSkHk-αHk 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =(Sk-α)Hk， 　　(βSk-α)＞0时，传染病人的人数第k＋1天比第k天增加；当(βSk-α)＜0时，传染病人的人数相应地减少，也就是说，当易受感染者人数Sk“大”时，可使(βSk-α)＞0，从而传染病人的人数增加；当易受感染者的人数Sk“小”时，可使(βSk-α)＜0，从而传染病人的人数减少。解一元一次不等式 βSk-α＞0(或βSk-α＜0) 　　得 　　　　　　　)，那么可以降低发病率从而降低β值。如果发明了一种好的药品可以缩短患病期，那么就可以提高传染病