复变函数论 第六章 留数.doc

第六章 留数 §1 留数 教学目的与要求:了解留数的定义及留数定理;掌握留数的计算方法;掌握留数定理. 重点: 留数的定义及留数定理;留数的求法. 难点：留数定理及留数的求法. 课时：2学时 定义6.1 设在内解析，则称积分　　（6.1）　 为在孤立奇点的留数，记作． 其中． 　　（6.1）所定义的留数与圆的半径无关，事实上，内，的洛朗展式为 　　　　　　　 上述在任一圆上一致收敛，故逐次积分得 　　　　. 即，也就是说等于在的洛朗展式中这一项的系数，故它与的半径无关． 显然，如果为的解析点或可去奇点，则． 下面我们叙述几种常见的留数计算公式： （１）设为的一阶极点，则在内有 　　　　　　　　　（6.2） 其中在内解析，其泰勒展式为： 　　　　　　　　　（6.3） 且．于是的洛朗展式中的系数等于，故 　　　　　　　　　（6.4） （２）若在内有，且，均在内解析，及为的一阶零点，在内　（），于是为的一阶极点，因此由（6.4）得 　　（6.5） (３)　设为的阶极点，则在内有且在 内解析，，它的泰勒展式为（6.3），于是 　　　　　　 显然， 因而也可按下列公式计算： 　　（6.7） 例１　求函数在奇点处的留数． 　解：　有两个一阶极点，于是根据（6.5）得 　　　　　 　　　　　 例２　求函数在奇点处的留数． 解：　有一个三阶极点，故由（6.7）得 例３　求函数在奇点处的留数． 解：　有一个一阶极点与两个二阶极点，于是由（6.4）及（6.7）可得 　　　　　 　　　　　 　　　　　 作业: 第270-271页1 (2) (4) (6) , 2(2) (4). §２　留数的应用 教学目的与要求: 掌握用留数求周线积分的方法，会用留数求一些实积分. 重点:用留数求围道积分的方法，用留数求一些实积分. 难点：用留数求围道积分的方法，用留数求一些实积分 课时：2学时 本节我们主要介绍留数在积分计算中的某些应用． （１）形如的积分，其中表示关于与的有理函数且在上连续． 　令，则且， 其次，当由连续地变动到时，则连续地在周围上变动一周，故有 　　　　　　　　（6.8） 例４　求的值，（） 解：　令，则由（6.8）得 由于，故在内，被积函数只有一个极点，于是 （２）形如的积分，其中与分别为关于的和次多项式，且 ，，．为此我们需要借助下述一个引理： 引理6.1 设圆周上的一段弧为，，在（充分大）上连续，若均有，则 　　　 例５　求的值． 解：　令，选取积分路径如图（6.1）， 则 在内，有两个一阶极点及，从而 　　　 由引理6.1知，故 （３）形如的积分　　（） 引理6.2 设在半径圆周（，充分大）上连续， 且均有，则　　（6.10） 例６　求　（） 解：　令，积分路径如图（6.1）， 图6.1 则在内只有一个一级极点对于，显然有 　　　　　　　　　　　　　　　　 例７　求 　解：　由于对任意均有 . 令，则在内只有一个一阶极点．类似于例６我们可得 . 作业: 第271页 4(1) (3), 5(1) (3) §3 幅角原理及其应用 教学目的与要求: 重点: 难点： 课时：2学时 1. 对数留数： 引理6.2. 1）设a为f的n级零点，则必是的一级极点，且 2）设b是f的m级极点，则b必是的一级极点，且. 证：由所设，1）在的某个领域内，有. 其中在的领域内解析，且. 即, 由在点解析便知：是的一级极点，且. 2)由所设在的某去心领域内，有,其中在的某去心领域内解析，且, 于是 . 由于在点解析, 故为的一级极点，且 定理6.1 设为围线，满足1）在内除可能极点外解析; 2）在上解析，且不取零，则. （其中与分别表示在内部零点个数与极点个数几级算几个） 证明：由已知条件知，在内至多只能有有限个零点与有限个极点，设为在内部不同的零点，其级分别为，为在内部不同的极点，其级分别为，由引理知，在上解析。在内部除了一级极点，与处均解析.由留数定理，得 辐角原理 辐角原理：在定理6.1的条件下， 特别地，若在内部解析，则 证明：只要证明即可.但 注: 辐角原理中的条件2）可减弱为：连续到上，且在上 例8：设 ：试验试辐角原理 解：满足辐角原理条件。又 3. 儒歇定理 定理 6.2 设为围线，与满足：1）它们在内解析，且连续到， 2）在上 ，则 证明：由已知条件，与 都在内部解析，且连续到 在上，， 要证明 即可 但 故只要证明 记，它把变为平面上曲线 但 故不会绕平面原点. 从而