二次函数在闭区间上的最值及抽象函数的有关问题.doc

二次函数在闭区间上的最值及抽象函数的有关问题 一、 二次函数在闭区间上的最值问题 已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下三种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定； (一)定区间定对称轴型 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1 已知f(x)=x2+2x-1,x[1,],求函数f(x)的最大值与最小值. 例2 函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a＞0)在区间[2,3]上的最大值为5最小值为2，求a,b的值. (二)定轴动区间型 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例3 设二次函数f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t),求g(t)的解析式. (三)动轴定区间型 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例4 已知函数f(x)=x2+ax+3在区间[-2,2]上的最大值为g(a),求g(a). 二、 抽象函数的单调性 (一)利用单调性求最值 例5 已知函数f(x)满足f(-x)=-f(x),对任意x1，x2R都有f(x1+ x2)=f(x1)+f(x2),且x0时，f(x)0,f(1)=-2,求f(x)在区间[-3,3]上的最值. 例6 函数f(x)的定义域为（0，+∞），对任意x1，x2（0，+∞）都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),当x1时，f(x)0,且f(2)=2,求f(x)在区间[8,16]上的最大与最小值. (二)利用单调性解不等式或比较大小 例7 已知函数f(x)是定义在（-1,1）上的增函数，且f(t-1)f(1-2t),求实数t的取值范围. 例8 已知函数f(x)定义域为（0，+∞），且对任意的x1，x2（0，+∞）都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2), 且当x1时，f(x)0,又知f(4)=1.(1)求f(1) 、f();(2)解不等式f(3)+f(x-1)≤1. 三、 抽象函数的奇偶性 例9 已知函数f(x)定义域为R,且对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证函数f(x)为奇函数. 例10 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a,b R都有f(ab)=bf(a)+af(b). (1)求f(1),f(-1);(2)判断f(x)的奇偶性. 四、 函数单调性与奇偶性综合 例11 已知函数f(x)为定义在[-5,5]上的奇函数，且在[0.5]上单调递减，比较f(-)与f(3)的大小. 例12 定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x)为减函数，且f(a)+f(a-1)0,求实数a的取值范围. 例13 已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数，且当x [0,3]时，f(x)=-2x+1，求函数f(x)的解析式. 例14 已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)-g(x)=-x2+3x-2,求f(x),g(x)的解析式.