第5章 微分方程模型及教案.ppt

数学建模讲义第5章 微分方程模型 黄可坤 嘉应学院 作业 三人为一组写一篇数学建模论文，题目是P201第2小题。打印出来上交。 * * 5.1 传染病模型 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为? 模型1 假设 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 建模 ? 模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为?, 且使接触的健康人致病 建模 ? ~ 日 接触率 SI 模型 模型2 1/2 tm i i0 1 0 t tm~传染病高潮到来时刻 ? (日接触率)? ? tm? Logistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 模型3 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染 增加假设 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为? ? ~日治愈率 建模 ? ~ 日接触率 1/? ~感染期 ? ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 模型3 i0 i0 接触数? =1 ~ 阈值 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 1-1/? i0 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例 i di/dt 0 1 ? 1 0 t i ? 1 1-1/? i 0 t ? ?1 di/dt 0 模型4 传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者 SIR模型 假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 2）病人的日接触率? , 日治愈率?, 接触数 ? = ? / ? 建模 需建立 的两个方程 模型4 SIR模型 无法求出 的解析解 在相平面 上 研究解的性质 模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 ? (日接触率)? ? 卫生水平? ?(日治愈率)? ? 医疗水平? 传染病不蔓延的条件——s01/? 降低 s0 提高 r0 提高阈值 1/? 降低 ?(=?/?) ? ?, ? ? 群体免疫 模型4 SIR模型 被传染人数的估计 记被传染人数比例 xs0 i 0 P1 ? i0 ?0, s0 ?1 ? 小, s0 ? ?1 提高阈值1/??降低被传染人数比例 x s0 - 1/? = ? 6.1 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 背景 产量模型 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r~固有增长率, N~最大鱼量 h(x)=Ex, E~捕捞强度 x(t) ~ 渔场鱼量 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 产量模型 平衡点 稳定性判断 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 E~捕捞强度 r~固有增长率 产量模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大 图解法 P的横坐标 x0~平衡点 y=rx h P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的纵坐标 h~产量 产量最大 f 与h交点P hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大. 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场鱼量 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE Es S(E) T(E) 0 r E 捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) 0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 ER E* 令=0