数值计算方法教材习题答案.doc

习题一 1．设0相对误差为2%，求，的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式： 得 （1）时 ； （2）时 2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。 （1）；（2）；（3）。 解：由教材关于型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5 3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352） 哪个较精确？ 解：（1）31.97+2.456+0.1352 = =0.3457 （2）31.97+（2.456+0.1352） = =0.3456 易见31.97+2.456+0.1352=0.345612，故（2）的计算结果较精确。 4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？ 解：设该正方形的边长为，面积为，由 解得==0.5% 5．下面计算的公式哪个算得准确些？为什么？ （1）已知，（A），（B）； （2）已知，（A），（B）； （3）已知，（A），（B）； （4）（A），（B） 解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。 （1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 （2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。 （3）（A）中使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。 （4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 6．用消元法求解线性代数方程组 假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为 （1）-（2）得，即，把的值代入（1）得；把的值代入（2）得 解不满足（2）式，解不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。 7．计算函数和处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？ 解： = = 即， 而当时的精确值为1.6852，故的算法较正确。 8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）： （1）；(2)。 解：（1）= （2）= 9．已知三角形面积，其中。 证明：。 证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：。 得 = （当时，），命题得证。 习题二 1．找出下列方程在附近的含根区间。 （1）；（2）； （3）；（4）； 解：（1）设，则，，由的连续性知在内，=0有根。 同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为；； 2．用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。 解：令，则有，，， 所以函数在上严格单调增且有唯一实根。 本题中求根使得误差不超过，则由误差估计式 ，所需迭代次数满足，即取便可，因此取。 用二分法计算结果列表如下： 0 0 2 1 -0.1585 1 1 2 1.5 0.4962 2 1 1.5 1.25 0.1862 3 1 1.25 1.125 0.015051 4 1 1.125 1.0625 -0.0718 5 1.0625 1.125 1.09375 -0.02835 6 1.09375 1.125 1.109375 -0.00664 7 1.109375 1.125 1.1171875 0.004208 8 1.109375 1.1171875 1-0.001216 9 11.1171875 1.115234375 0.001496 10 11.115234375 1.1142578125 0.001398 11 11.1142578125 1.11376953125 -0.000538 12 1.11376953125 1.1142578125 1.114013671875 -0.000199 13 1.114013671875 1.1142578125 1.1141357421875 -0.0000297 14 1.1141357421875 1.1142578125 1.11419677734375 0.000055 由上表可知原方程的根 该问题得精确解为，故