数学建模论文--猎狗追兔子问题.doc

数学建模论文 论文题目：猎狗追兔子问题 2010计算机1班 2012-10-5 猎狗追兔子问题 摘要 本文讨论了分别用微分模型，计算机仿真模型求解猎狗追兔子的问题，猎狗追兔的问题属于实际的情景问题，具有一定的时代气息。 微分模型计算得到猎狗能追上兔子的最小速度是17.0803米/秒，在这种情况下，猎狗跑过的路程是256.2045米。 计算机仿真模型形象的演示了猎狗追击兔子的状态和路线。 技术科学中往往遇到大量的微分方程就是联系着自变量，未知函数以及他的导数的关系式。在自然科学和微分方程问题。通过对高级微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型。在模型的求解过程中应用数学软件等计算工具，编写相应的程序，解决实际问题。 关键词：数学建模 猎狗 兔子 追击 计算机仿真 Matlab 目录 一、问题重述与分析 3 1.1问题描述 3 1.2问题分析 3 二、模型假设 4 三、符号说明 4 四、微分模型建立 4 五、微分模型求解 6 5.1方程求解 6 5.2最小速度 6 5.3猎狗跑过的路程 7 5.4奔跑曲线 7 5.5 Matlab编程求解 8 六、计算机仿真 13 6.1计算机仿真模型的建立 13 6.2仿真程序 15 6.3显示追击路线的程序 17 七、模型的评价 19 7.1、优点 19 7.2、缺点 20 7.3、改进方向 20 八、参考文献 20 一、问题重述与分析： 1.1问题描述： 某有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用微积分方程理论解、微积分方程数值解、计算机仿真法等多种方法完成下面的实验： (1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ (2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？ (3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。 (4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子 之间的距离为30米时，兔子由于害怕, 奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴 奋奔跑的速度每秒增加0.1倍，在这种情 况下，再按前面的（1）—（3）完成实验任务。 1.2问题分析： 1、本题目是在限定条件下求极值的问题，可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。 2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理，结合高等数学的有关知识，对微分方程进行求解。 3、将数学求解用Matlab程序语言进行实现，得出方程的近似解。 4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。 二、模型假设 1、设在兔子和猎狗的运动过程中，两者的速度保持恒定，且不受其他因素的影响。 2、假设在较短的时间内猎狗运动的轨迹为直线。 3、当猎狗与兔子之间的距离相当小时，认为猎狗已经追上了兔子。 三、符号说明 s：猎狗跑够的路程 t: 经历的时间 v: 猎狗的速度 a：兔子的速度 四、微分模型建立： 以BO所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则O点坐标（0，0），B点坐标（-200，0），A点坐标（0，120）。 从猎狗发现兔子时起，在t时刻，兔子到达C(0，8t)点，猎狗到达(x,y)点，由题意可知： 对两边关于x求导可得： 于是： y(-200)=0,dy(-200)=0 则该问题的模型建立 五、微分模型求解 5.1方程求解： 令：，，原方程可以化为： y=(v*x*(-x/200)^(8/v))/(2*v + 16) - (1600*v)/(v^2 - 64) - (v*x*(-200/x)^(8/v))/(2*v - 16) 5.2最小速度： 令x=0, 此时猎狗追上兔子，则兔子走过的距离为 y=1600*v/(-64+v^2) 则追赶的时间为： t=y/8=200*v/(-64+v^2) 由于兔子跑回窝的时间是一个定植，所以当猎狗以最小速度追赶上兔子时，所经历的时间恰好为兔子跑回窝所需要的时间，即： 200*v/(-64+v^2)=15 可以解得：v= 17.0803 即猎狗的最小速度为17.0803米/秒 5.3猎狗跑过的路程： 当猎狗的速度为17.0803米/秒时，猎狗可以追上兔子，则： 猎狗跑过的路程：y=17.0803*15米= 256.2045米 5.4奔跑曲线： 用matlab绘制曲线，代码如下： v=17.0803; x1=[]; y1=[]; x2=[]; y