2016年全国高中数学联合竞赛答案（精校版）.docxVIP

2016年全国高中数学联合竞赛一试 (A卷)参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设 8分和 0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9小题 4分为一个档次，第10、11小题 5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8 分，共64分． 1．设实数满足则的取值范围是________________．答案：解：由可得，原不等式可变形为所以 ，故2．设复数满足，其中 i 是虚数单位分别表示的共轭复数，则的模为________________．答案：解：由运算性质，，因为、为实数，，故所以 从而因此，的模为3．正实数均不等于 1，若，，则的值为___________．答案：解：令，则条件化为由此可 得因此．4．袋子中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则中剩下的纸币面值之和大于中剩下的纸币面值之和的概率为________．答案：解：一种取法符合要求，等价于从中取走的两张纸币的总面值小于从中取走的两张纸币的总面值，从而．故只能从中取走两张1元纸币，相应的取法数为．又此时，即从B中取走的两张纸币不能都是 1 元纸币，相应有种取法． 因此，所求的概率为5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足，M为 AP 的中点. 若，则二面角的大小为__________．答案：．解：由知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则平面ABC． 易知，进而设H为M在底面上的射影，则H为 AO 的中点．在底面中作于点K，则由三垂线定理知，从而为二面角M—BC—A的平面角.因，结合与AB平行知，，即，这样．故二面角的大小为．6．设函数，其中是一个正整数．若对任意实数，均有，则的最小值为__________．答案：16．解：由条件知，其中当且仅当时，取到最大值．根据条件知，任意一个长为 1 的开区间至少包含一个最大值点，从而，即 ．反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时成立．综上可知，正整数的最小值为． 7．双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作一直线与双曲线的右半支交于点，使得，则的内切圆半径是__________．答案：解：由双曲线的性质知，，，因，故因此从而直角的内切圆半径是8．设是中的4个互不相同的数，满足，则这样的有序数组的个数为__________．答案：40．解：由柯西不等式知，，等号成立的充分必要条件是，即成等比数列．于是问题等价于计算满足的等比数列的个数．设等比数列的公比，且为有理数．记，其中为互素的正整数，且．先考虑的情况．此时，注意到互素，故为正整数．相应地，分别等于，它们均为正整数．这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即．由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列 ．综上可知，共有40个满足条件的有序数组．二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9．(本题满分 16分)在中，已知 ，求 的最大值． 解：由数量积的定义及余弦定理知， ．同理得， ， ．故已知条件化为 ．即 …………………………………………………… 8分由余弦定理及基本不等式，得 所以 ……………………………………………………12分等号成立当且仅当 ．因此的最大值是 ． …………………16分 10．(本题满分20分)已知 是 上的奇函数， ，且对任意 均有．求 的值．解：设 ．则 ．在中取 ，注意到 ．及为奇函数，可知 ……………………………………5分 即 ．从而 ． ……………………………10分因此 ． ………………20分11．(本题满分20分)如图所示，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上的一个动点. 以为焦点、为顶点作抛物线. 设是第一象限内上的一点，是轴负半轴上一点，使得为的切线，且． 圆，均与直线切于点，且均与轴相切．求点的坐标，使圆与的面积之和取到最小值．解：设抛物线的方程是点的坐标为，并设，的圆心分别为，设直线的方程为，将其与的方程联立，消去可知因为与相切于点，所以上述方程的判别式为解得．进而可知，点的坐标为．于是由可得： ① ……………………………………5 分注意到与圆，相切于点，所以，设圆，与轴分别相切于点，则分别是的平分线，故知从而由射影定理结合①，就有 ② ……………………………10分由共线，可得 化简得 ③ ……………………………1