1.3同济大学第五册高等数学第一章第三节.ppt

例1. 证明 例2. 证明 例4. 证明: 当 例15. 证明 2.另两种情形: 3.几何解释: 例14. 证明 证 故不妨设|x|＞1， 而当|x|＞1时 证: 取 因此 注: 就有 故 欲使 即 1.3.2 函数极限的性质 2、局部有界性 1、唯一性 3、局部保序性 4、子列收敛性 2、局部有界性 1、唯一性 3、不等式性质（局部） 定理(保序性) 推论 定理(保号性) 推论 4、子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系) 定义 定理 证 例如, 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等. Heine定理，又称归并原则 即 证明 设 即 恒有 再由 则对上述 有 又 故 * 第三节 函数的极限 1.3.0 背景 1.3.1 函数的极限的概念 （一） 函数的极限 （二） 函数的极限 1.3.2 函数极限的性质 引例 [水温的变化趋势 ] 将一盆800C的热水放在一间室温为200C的房间里，水的 温度将逐渐降低，随着时间的推移，水温会越来越接近室温 200C。 渐趋于0（ ）。 短，当人越来越接近终点（ ）时，其影子的长度逐 考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度． 若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度为 。 由日常生活知识知道，当此人走向目标时，其影子长度越 引例 [人影长度 ] 如何用准确地刻画无限接近这一过程呢? 十九世纪以前，人们用朴素的极限思想计算了圆的面积、体积等．十九世纪之后，柯西以物体运动为背景，结合几何直观，引入了极限概念．后来，维尔斯特拉斯给出了形式化的数学语言描述．极限概念的创立，是微积分严格化的关键．它奠定了微积分学的基础． 1.3.1 函数极限的定义 1、自变量趋向有限值时函数的极限 2、单侧极限 3、自变量趋于无穷大时函数的极限 1、自变量趋向有限值时函数的极限 1 x y o 4 当 时函数的极限 设函数 在 的某一去心邻域 内有定义，若存在 常数 ，当自变量 在此邻域内无限趋近于 时，相应的函数值 或 ( ) 无限接近于 时的极限,记作 则称 为函数 当 δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定， 一般地，ε越小，δ越小 2.几何解释: 几何解释: 极限存在 函数局部有界 (P36定理2) 注 ①定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素： 10。正数ε，20。正数δ，30。不等式 ②定义中 所以x →x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态 并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近 的变化趋势，即 x →x0时f(x) 变化有无终极目标， 而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。约定x →x0但 x≠x0 证: 故 对任意的 当 时 , 因此 总有 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 例3. 证明 证 于是 恒有 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 （不妨设ε＜1） 证 例5. 证明 例6. 证明 证 不妨设 注 在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解。 例7 试证 证 要使 取 当 时，有 ，即 例8 试证 证 要使 ，即 令 取 当 时，有 关键： 要能被限制住。 [矩形波形曲线分析 ] （ ） 矩形波在一个周期 内的函数为 函数 处的极限是多少？ 在 2、单侧极限: 函数单侧极限 设函数 在 的某个左半邻域 (或右半 邻域 )内有定义，如果存在一个数 ，当自变量 在此半邻 域内无限趋近于 时，相应的函数值 无限接近于 ，则称 为函数 在 处的左（或右）极限，记作 （或） . 左极限 右极限 例9. 证 左右极限存在但不相等, 在一个电路中的电荷量Q由下式定义 ，其中C、R 为正的常数值，分析电荷量Q在时间 时的极限。 解 由于 ,所以此函数在 =0处的极限为 例10. 例11 求 解 故原极限不存在。 例12 设 则 不存在 播