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2016专题五:函数与导数
在解题中常用的有关结论(需要熟记):
(1)曲线在处的切线的斜率等于,切线方程为
(2)若可导函数在 处取得极值,则。反之,不成立。
(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增(减)区间。
(4)函数在区间I上递增(减)的充要条件是:恒成立
(5)函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。(若为二次函数且I=R,则有)。
(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在I上恒成立
(7)若,恒成立,则; 若,恒成立,则
(8)若,使得,则;若,使得,则.
(9)设与的定义域的交集为D若D 恒成立则有
(10)若对、 ,恒成立,则.
若对,,使得,则.
若对,,使得,则.
(11)已知在区间上的值域为A,,在区间上值域为B,
若对,,使得=成立,则。
(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于0,极小值小于0.
(13)证题中常用的不等式:
① ② ③
④ ⑤ ⑥
考点一:导数几何意义:
角度一 求切线方程
1.(2014·洛阳统考)已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,a=f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))),f′(x)是f(x)的导函数,则过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为( )
A.3x-y-2=0
B.4x-3y+1=0
C.3x-y-2=0或3x-4y+1=0
D.3x-y-2=0或4x-3y+1=0
解析:选A 由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x得f′(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,则a=f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))=3-2sineq \f(π,2)+2coseq \f(π,2)=1.由y=x3得y′=3x2,过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线的斜率k=3a2=3×12=3.又b=a3,则b=1,所以切点P的坐标为(1,1),故过曲线y=x3上的点P的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
角度二 求切点坐标
2.(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y=3ln x+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是( )
A.(0,1) B.(1,-1)
C.(1,3) D.(1,0)
解析:选C 由题意知y′=eq \f(3,x)+1=4,解得x=1,此时4×1-y-1=0,解得y=3,∴点P0的坐标是(1,3).
角度三 求参数的值
3.已知f(x)=ln x,g(x)=eq \f(1,2)x2+mx+eq \f(7,2)(m0),直线l与函数f(x),g(x)的图像都相切,且与f(x)图像的切点为(1,f(1)),则m等于( )
A.-1 B.-3
C.-4 D.-2
解析:选D ∵f′(x)=eq \f(1,x),
∴直线l的斜率为k=f′(1)=1,
又f(1)=0,
∴切线l的方程为y=x-1.
g′(x)=x+m,设直线l与g(x)的图像的切点为(x0,y0),
则有x0+m=1,y0=x0-1,y0=eq \f(1,2)x+mx0+eq \f(7,2),m0,
于是解得m=-2,故选D.
考点二:判断函数单调性,求函数的单调区间。
[典例1]已知函数f(x)=x2-ex试判断f(x)的单调性并给予证明.
解:f(x)=x2-ex,f(x)在R上单调递减,
f′(x)=2x-ex,只要证明f′(x)≤0恒成立即可.
设g(x)=f′(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex,
当x=ln 2时,g′(x)=0,
当x∈(-∞,ln 2)时,g′(x)0,
当x∈(ln 2,+∞)时,g′(x)0.
∴f′(x)max=g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-20,
∴f′(x)0恒成立,
∴f(x)在R上单调递减.
[典例2] (2012·北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.
[解] (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,
由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f?1?=a+1=c,,g?1?=1+b=c,,2a=3+b,))解得a=b=3.
(2)令F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+eq \f(a2,4)x+1,F′(x)=3x2+2ax+eq \f(a2,
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