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矩阵特征值的求法 　作者： 曾列 指导老师： 叶淼林 　摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值的一些常见的证明方法．对于一般矩阵，我们通常采用的是求解矩阵特征多项式根的方法．若矩阵的特征多项式的根存在，则这个根即为矩阵特征值；如果没有根，则该矩阵无特征值．而对于一些抽象矩阵，主要有左乘矩阵法、通过证明一数为矩阵多项式根的方法及转置共轭法．在这三种方法的运用过程中，通过一些已证得的特殊矩阵特征值的相关结论，可以起到简化运算的效果．本文不仅给出了每一种方法与相关结论的证明，而且还通过大量的例题来说明这些方法的具体求解步骤． 　关键词　矩阵　特征值　特征多项式 １　引言 在线性方程组的讨论中可以看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，除现行方程组外，还有大量的各种各样的问题也都与矩阵有关，并且这些问题的研究常常反映为有关举证的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同，表面上么任何联系，归结成矩阵问题以后却是相同的，这就使矩阵成为代数的一个主要研究对象，由于矩阵可以从多个方面来反映对象状态与相互关联的数量信息，矩阵特征值与特征向量则是对这些信息的提炼和浓缩，是矩阵和向量的理论在层次上的发展，在多数《高等代数》的教材中，矩阵特征值的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性，描述线性空间中线性变换A的特征值，而大部分《线性代数》教材中，特征值的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成，它不仅仅在数学中具有广泛的应用，在其他学科（如物理、化学、生物等学科）和工程技术上的诸多领域也具有广泛的应用，因此研究矩阵特征值的求法具有重要的意义。本文就一般矩阵给出一般的解法，对一些特殊矩阵提出一些简便的解法。 2 矩阵特征值的定义 定义1　Ａ是n阶矩阵，如果对于数域Ｐ上一个数，存在一个非零维向量，使 得Ａ，则称为矩阵Ａ的属于特征值的特征向量． 　　由矩阵特征值定义可知，并非所有矩阵都存在特征值．如果一个n阶矩阵存在特征值，那么如何求出该值？现从定义出发来探讨这一问题． 设Ａ是n阶矩阵，是Ａ的特征值，为Ａ的属于特征值的特征向量． 则　　　　　　　 即　　　　　 亦即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由此可知　　是齐次线性方程组的非零解． 于是有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 而反之，如果满足，那么齐次线性方程组存在一个非零解，则．于是．所以 ．由定义知 是Ａ的特征值，为Ａ的属于特征值的特征向量．综上有：是Ａ的特征值的充分必要条件是　　.　 注：由定义：如果是n阶矩阵A的特征值，n维非零向量X是矩阵A的属于特征值的特征向量，则： 由此可见，特征向量X就是齐次线性方程组（1）的非零解，反之，若找到数，使得齐次线性方程组（1）有非零解，则就是矩阵A的特征值，因此，有齐次线性方程组解的理论可知： 是矩阵A的特征值的充分必要条件是： 根据定义我们可以知道：对于低阶矩阵我们很容易求出矩阵的特征值，对高阶矩阵而言，求其矩阵特征值是很麻烦的，但是对于某种特殊的矩阵来说，其特征是是很容易求出的，例如：上（下）三角矩阵，对角矩阵，它们的特征值就是其主对角线上的元素。 定理：上（下）三角矩阵的特征值为其主对角线上的元素。 证明：设上三角矩阵A= ==（=0 所以A的特征值为， 故上述定理成立。 矩阵特征值的性质及其证明 性质1 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。 证明：设非零向量X是矩阵A的一个特征向量，与其对应的特征值是和，则有 因此： 由于,所以，，故。 即性质1成立。 性质2 若λ是可逆矩阵A的特征值，则是A的特征值。 证明：设非零向量X是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，则 于是 由于，所以 故 所以，是矩阵的特征值。 即性质2成立。 性质3 设λ是矩阵A的特征值，对应的特征向量是X，则 是矩阵A的特征多项式 的特征值，且. 证明：首先用数学归纳法在性质3的条件下证明 (k为非负整数) 当k=0和k=1是，上式显然成立。 假设当k-1时上式仍然成立，即 现在证明对于k时上式仍然成立 因为 所以对于k，上式仍然成立。 由上式知：