弹力第19讲2009.ppt

弹性力学(第19讲) 武汉理工大学工程结构与力学系 翟鹏程 pczhai@126.com pczhai@ 一、用极坐标求解温度应力问题 二、圆环和圆筒的轴对称温度应力 三、楔形坝体中的温度应力 （b） 由式（b）的特点，可取位移势函数? ： （c） 将其代入式（b），有 比较两边 cos? 项的系数及常数项，有 将其代入式（c），有 对应于特解的应力： ? y ? x r ? 对应于特解的应力： （6-29） （d） 引起边界上的应力为： —— 边界上为均匀分布应力 ? y ? x r ? （2）求补充解（用应力函数法求解） 由特解在边界给出的均匀面力，为满足实际问题的边界条件（无面力），应取应力函数（考虑到对称性）： 对应的补充解应力分量： 将上述补充解应力分量与特解应力分量叠加，得总应力： （e） ? y ? x r ? * 极坐标下温度应力平面问题的基本方程 （1） 平衡微分方程（不计体力，即 Kr = K? = 0） （4－1） （2） 几何方程 （4－2） （3） 物理方程（平面应力情形） 设物体具有变温： （用应力表示应变的物理方程） 总应变 = 温度变化引起的应变 + 温度应力引起的应变 （用应变表示应力的物理方程） （4） 边界条件 位移边界条件： 应力边界条件： ——（a） ——（b） 极坐标下位移势函数的应用 将式（b）代入平衡方程（4-1），有 （c） —— 用应变表示的平衡方程 再将几何方程（4-2）： （4－2） 代入上述方程，即可得位移表示的平衡方程。 设存在一势函数 使得位移平衡方程的特解为： （d） ——（b） （4－1） 将其代入几何方程，得位移特解对应的应变分量为： （e） 将式（e）代入式（c）表示的平衡方程 ，并整理有 （f） 显然，当下式成立时，式（f）成立。 （6-28） 其中： —— 极坐标下的Laplace 算子 当温变函数 T 已知时，可易求得位移势函数 从而求得相应的位移特解 。 （c） —— 用应变表示的平衡方程 位移势函数 代入几何方程和物理方程，有 （6-29） 对应于位移平衡方程的补充解，常由应力函数法求解。 说明： （1）补充解的应力边界条件，由特解给出的边界面力加负号得到。 （2）将补充解的的应力与特解的应力叠加，使其问题的全部边界条件。 按极坐标求解温度应力的步骤： （6-28） 其中： —— 极坐标下的Laplace 算子 （1） 由温度场的条件，确定温变函数 T （2） 由式（6-28）求解位移势函数? 进一步求对应于特解的应力： （6-29） （3） 不计温变T，求满足位移平衡微分方程的补充解（位移）和对应的应力。 通常由应力函数法，求补充解对应的力， 补充解的应力边界条件， 由特解给出的边界面力加负号得到。 （4－5） （4） 叠加特解与补充解两部分应力（或位移），使其满足实际问题的所有边界条件。 轴对称温度应力问题的求解 对于轴对称问题，有 相应的位移特解： 求解位移势函数 的方程，变为 或： 对上述方程两边乘以rdr，并积分 或： 对上述方程两边乘以 rdr，并积分 上式中A为常数，其中 ( 1+? ) ? 是为确定常数方便加的。对上述方程两边乘以 dr/r ，再积分 （6-30） 式中 : B为积分常数。代入对应于特解应力的公式，有 （6-30） 式中B为积分常数。代入对应于特解应力的公式，有 式中积分均为不定积分，也可用定积分形式表示： （6-31） 式中 ? 可以是任意取的常数，但它的因次必须是长度。 （1）对于平面应变问题，有 说明： （a）材料常数须作如下替换： E 替换为 ? 替换为 ? 替换为 （b）z 方向的应力： （6-32） （2）如果上述结果不能满足全部的边界条件，则需求对应于位移平衡方程的补充解，然后将两者的应力叠加以满足全部的边界条件。 补充解一般由应力函数法求解（见第四章内容）。 温度应力轴对称问题求解： （6-30） （6-31） 如果上述结果不能满足全部的边界条件，则需求对应于位移平衡方程的补充解，然后将两者的应力叠加以满足全部