第六章 非线性方程的迭代法.ppt

非线性方程组的解法 内容小结 定理6.1 三、迭代法的收敛条件 简单迭代法收敛条件 证明： （一、证明存在惟一性） 由于 （二、证明收敛与初值的无关性） 简单迭代法收敛定理 简单迭代法收敛定理 简单迭代法收敛定理 定理6.2 压缩影象原理的应用 提示 压缩影象原理的应用 迭代法的局部收敛性 定义：对于方程 定理6.3 迭代法的局部收敛性 求方程 设方程分别改写成下列形式 . 例4回顾 解 , 所以迭代法发散. 所以迭代法收敛. 压缩影响原理应用的例题 求方程 例3回顾 压缩影响原理应用的例题 例题分析 观察!!! 例题分析 Mathematica验算程序1 例题Math程序 Mathematica验算程序2 Mathematica验算程序3 Mathematica验算程序4 牛顿法与弦截法 第三节 牛顿法与弦截法 简单牛顿法与牛顿重根法 牛顿下山法 牛顿迭代法原理 弦截法及其收敛分析 1 2 3 4 牛顿法及其原理 1、牛顿迭代法(切线法)及其原理 牛顿法的几何解释 牛顿法也叫切线法 牛顿法几何解释 牛顿法对应的迭代方程为 显然是f(x)=0的同解方程， 故其迭代函数为 在 f(x)=0的根 的某个邻域 内, 牛顿迭代法原理 例5 解 牛顿迭代法例题 例 6 牛顿迭代法例题 例 7 牛顿迭代法例题 牛顿法的特点 优点: 如果初始点选择的好，则收敛快! 缺点: 牛顿迭代法特点 （3）初值选的不恰当，会导致迭代发散 思考题 如何改进牛顿法呢? 简化的牛顿法 改修为 牛顿迭代法改进 牛顿下山法 思路 牛顿下山法 称为牛顿下山法 其中 直到满足: 牛顿下山法 Mathematica牛顿法 河北理工大学 / 河北理工大学 / 河北理工大学 / * 第六章 非线性方程的解法 引 言 本章重点研究对象 第一节 对分区间法 一般提法与结论 求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。 一般提法与结论 f[x_]:=x^3-11x^2 +38x-41 Plot[f[x],{x,1,7}] NSolve[f[x]==0,x] 例1 解 描图或逐步有哪些信誉好的足球投注网站法找有根区间 引 例 有哪些信誉好的足球投注网站法： 先求出使 的点，然后将这些点 引例求解方法 放在定义域内，将定义域分成几部分，算出驻点 处的函数值，即可知道方程的有根区间。 二、区间二分法 区间二分法 区间二分法 区间二分法 例2 解（二分法） 如此二分下去即可。现估计二分次数 所以二分6次可达到要求。 区间二分法例题 区间二分法程序 f[x_]:=x^3-x-1; Plot[f[x],{x,0,2}] {a,b}={0,2.}; Do[c=(a+b)/2;Print[第,k,次中分：,a,k,=,a, ,b,k,=,b, ,中点c=,c, ,f[a]=,f[a], ,f[b]=,f[b], ,中点f[c]=, f[c]]; If[f[a]*f[c]0,a=c,b=c],{k,1,17}] Print[方程的精确解为,FindRoot[f[x]==0,{x,1}]] 优点： 区间二分法分析 区间二分法的分析 对函数要求低，计算简单; 缺点： 收敛慢且对有偶数重根的情况不适合。 基本思想 构造不动点方程，以求得近似根。 当给定初值x0 后, 由迭代格式可求得数列{xk}。此数列可能收敛，也可能不收敛。如果{xk}收敛于x*，则它就是方程的根。因为： 即由方程f(x)=0变换为其等价形式x=?(x), 然后建立迭代格式， 第二节 简单迭代法 一、迭代法及其收敛性概念 (1)不动点迭代法： 按上述方法构造迭代格式来求解方程的方法称为 简单迭代法或逐次迭代法。 基本概念 基本概念 二、迭代法的几何意义 迭代法的几何意义 迭代法的几何意义 迭代法的几何意义 求方程 设方程改写成下列形式 据此建立迭代公式 例3 解（迭代法） 简单迭代法例题 Mathematica程序 简单迭代法程序 f[x_]:=x^3-x-1; Print[f[x]图象如下：] Plot[f[x],{x,-2,2}] x0=1.5; Do[x1=(x0+1)^(1/3);Print[第,n,次迭代x,n,=,x1];x0=x1,{n,1,7}] Print[方程f[x]=0的精确实根为：,N[Solve[f[x]==0,x],10][[1]]] 求方程 设方程分别改写成下列形式 据此建立迭代公式 例4 解 简单迭代