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李璋 自动控制原理 第二章 数学模型 21 欢迎各位 来到《自动控制原理》课堂！ 第二章 控制系统的数学模型 2.1 绪 言 实验法：基于系统辨识的建模方法 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 已知知识和辨识目的列写出参数待定的数学模型方程 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近 例 2-1 R、L、C串联电路的微分方程 例2-3 图2-4 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。 电枢回路电压平衡方程： Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即 ③、④求出ia(t)，代入①同时②亦代入①得： 如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 ⑥还可进一步简化为 2.2 线性微分方程的求解 复变数和复变函数复习： 机械系统传递函数: 性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所具有复变量函数的所有性质。 2.4 典型环节及其传递函数 　　系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有?个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为： 　　从传递函数的表示式中可以看到，传递函数的基本因子对应的典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。 2．惯性环节 3．积分环节 4．振荡环节 振荡环节的微分方程是： 6．延迟环节 延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。延迟环节的输出是一个延迟时间?后，完全复现输入信号，即： 2.5 控制系统的方块图 四．方块图的绘制 3．反馈连接 上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。 前移后移等效变换原则： 1。变换前后，前向通道上各环节传递函数的乘积保持不变。 下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。 例：求系统总传递函数 （三）信号流图的绘制 一般可由系统的方框图很容易的绘制出信号流图 例题 二、梅逊公式及其应用 例题2 信号相加点的移动分两种情况：前移和后移。为使信号相加点移动前后输回出量与输入量之的关系不变,必须在移动相加信号的传递通道上增加一个环节，它的传回递函数分别为 1／G（S）（前移）和 G（S）（后移）。 信号分支点（取出点）的移动也分前移和后移两种情况。但分支点前移时应在取出通路上增加一个传递函数为G（S）的环节，后移时则增加一个传递函数为1／G（S）的环节。 此外，两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分支点可以互换位置。但必须注意，相邻的相加点与分支点的位置不能简单互换。 Ei E Eo + + － － R1 C2s + － R1C2S + + + - - - Ei Eo 图2-27（a) 图2-27（b) Eo R1C2S + - Ei 图2-27（c) R1C2S + - Ei Eo 图2-27（d) Ei Eo 图2-27（e) 返回 2.6 信号流图与梅逊公式 信号流图和方框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是一种数学模型。 框图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，并易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。 －）基本概念 信号流图是一种将线性代数方程组用图形来表示的方法。例如： 一. 信号流图及其等效变换 信号流图中，用小圆圈“O”表示变量，并称其为节点。节点之间用加权的有向线段连接，称为支路。通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系，因此支路的权又称为传输关系。 （二）常用术语； 信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术语。 （1）源节点：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输人，因此也称为输入节点。 （2）汇节点：只有入支路的节点，对应于因变量，有时也称为输出节点。 （3）混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。 （4）闭通道：如果通道的终点就是通道的起始点，并且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为闭通道或回路、回环等。 （5）前向通道