第二节、定积分.ppt

第二节 定积分 一、定积分的概念 求曲边梯形面积具体做法： （1）分割 （2）近似代替 （3）求和 （4）取极限 定积分的几何意义 小结 二、定积分的性质 三、牛顿－莱布尼兹公式 四、定积分的换元积分法和分部积分法 性质5 性质6 性质7 性质8 性质9 设M及m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则 性质10（定积分中值定理） 积分中值公式 积分中值公式的几何解释： 积分上限函数 积分上限函数的性质 证 y 0 b a x 由积分中值定理得 y 0 a b x 例： 解 推论 解 例： * * 实例1 （求曲边梯形的面积） x轴及直线x=a,x=b围成 y a b x o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o a b x y o 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 曲边梯形如图所示， 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 实例2 P67 定义 设函数f(x)在 上有定义， 在 中任意插入 把 区间分成 个小区间， 各小区间的长度依次为 ，在各小区间上任取 一点 ，作乘积 并作和 如果不论对 若干个分点 记为 怎样的分法， 也不论在小区间上 点 怎样的取法， 只要当时 ，和S总趋于 确定的极限I，我们称这个极限 I 为函数 f(x) 被积函数 被积表达式 积分变量 积分上限 积分下限 积分和 注意： (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，而 与积分变量的字母无关. (2)定义中区间的分法和 的取法是任意的. (3)当函数 在区间上 的定积分存在时， 称 在区间 上可积. 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 a b 几何意义： 例1 利用定义计算定积分 解 将[0,1]n等分，分点为 小区间 的长度 ， 取 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 对定积分的补充规定: 说明 ： 在下面的性质中，假设定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．