线性代数讲义(第四章）.ppt

二、线性方程组有解的判定定理 四、小结 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系及其求法 2.求 AX=0 的基础解系的方法 三、非齐次线性方程组解的性质 四、小结 练习： １．齐次线性方程组基础解系的求法 　　（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形 由于 令 　　（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有 个线性无关的解向量． 故 为齐次线性方程组的一个基础解系. ( ) ( ) n B R A R = = ( ) ( ) n B R A R = ２． 线性方程组解的情况 由于 令 　　（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有 个线性无关的解向量． 故 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 （方法一）：对系数矩阵 作初等行变换，变为行标准形，有 （方法二）：高斯消元法 例2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 例5 证明 R(ATA) = R(A). 例4 证明 １．非齐次线性方程组解的性质 注： 证明 证毕． 　　其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. ２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 解 例4 求下述方程组的解 所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组 求基础解系 令 依次得 求特解 所以方程组的通解为 故得基础解系 另一种解法 则原方程组等价于方程组 所以方程组的通解为 * * 第四章 线性方程组 线性方程组的基本概念与求法 线性方程组的解的结构 第一,二节 线性方程组的基本概念与 Gauss 消元法 二、线性方程组有解的判定条件 三、高斯消元法 一、线性方程组的基本概念 四、小结 一、线性方程组的基本概念 1、线性方程组的一般形式 2、线性方程组的矩阵形式 式利用矩阵的乘法可表示为： 3、线性方程组的向量形式 例1 求解齐次线性方程组 解 即得与原方程组同解的方程组 由此即得 例２ 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵 B=(A, b) 进行初等行变换， 故方程组无解． 例３ 求解非齐次方程组的通解 解 对增广矩阵 B=(A, b) 进行初等行变换 故方程组有解，且有 所以方程组的通解为 例4 设有线性方程组 解 其通解为 这时又分两种情形： ( ) ( ) n B R A R = = ? ( ) ( ) n B R A R = ? 有无穷多解. b Ax = 非齐次线性方程组 齐次线性方程组 第三节 线性方程组的解的结构 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的性质 四、小结 一、齐次线性方程组解的性质 １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 （1） 则上述方程组（1）可写成矩阵方程 若 为方程 的 解，则 若记 　　称为方程组(1) 的解向量． ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 　　由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间．记为N(A) 证毕. １．基础解系的定义(解空间的基) 定理1 注： （1） （2） 简述证明思路： 　　（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形