数理统计课件 第5章.ppt

5.2.13一般地，若按A、B两个属性进行分类，它们分别有r个类和c个类，若将A的不同类别A1,…, Ar安排在不同的行，B的不同类别B1,…, Bc安排在不同的列，对一个样本量为n的样本，统计每个观测值按交叉分类下不同类别的频数n ij，可得下表 A1 … Ar B1, B2, …, Bc n11, n12, …, n1c nr1, nr2, …, nrc …………………………. 合计 合计 n+1 n+2 n+c n1+ nr+ n … … 上表为r?c列联表, 2? 2的列联表也称为四表格. 设X的所有可能取值为1,…r， Y的所有可能取值为1,…c,现在进行了n次独立的观测，其中“X取i,Y取j”的次数为n ij，需要检验 H0: X,Y相互独立 合计 n+1 1 … r X Y 1, 2, …, c n11, n12, …, n1c …………………………. nr1, nr2, …, nrc n+2 n+c … 合计 n1+ … n nr+ 记pij=P(X= i,Y= j), pi=P(X= i), qj=P(Y= j), 需要检验的是： H0: pij= pi? qj对一切的i, j都成立. (1) pi, qj的最大似然估计 在原假设H0成立的条件下，似然函数为 因此对数似然函数为 分别对pi, qj求导，建立似然方程组 得到 而pr=1- p1-…- pr-1, qj =1- q1-…- qc-1 注意这里我们只估计了(r-1)+(c-1)个参数. (2) ? 2检验的统计量 ? 2检验的统计量 的极限分布的自由度为 rc-(r-1)-(c-1)-1= (r-1) (c-1) 因此假设H0: X,Y相互独立的水平? 的拒绝域为 (3) ? 2检验的统计量的计算公式 (4) 四表格? 2检验的统计量的计算公式 (5) 四表格的原假设(X,Y相互独立)拒绝域 例5.2.14在因首次心脏病而住进某医院的665个男性中有214位病人秃顶，在同期的另外772名不是因为心脏病而住院的男性中有175人人类似的秃顶.试问：在住院的病人中，秃顶和患心脏病这两个属性是否独立？ 解 按不同的属性汇总成四表格为 秃顶 不秃顶 合计 心脏病住院 非心脏病住院 214 451 665 175 597 772 合计 389 1048 1437 检验“秃顶与否”和“住院原因” 独立的假设. 四表格? 2检验的统计量为 所以拒绝“秃顶与否”和“住院原因” 独立的假设.也就是说，这两种属性是有关联的. 其中R= ( R1, …,Rn)为Y= ( Y1, …,Yn)在混合样本(X1，…，X m，Y1，…，Y n)中的秩，其水平? 的拒绝域为 或 其中t m,n(d)由式(5. 1. 18)规定. (5. 1. 22) 对两样本总体的比较问题，使用Wilcoxon秩和统计量W以式(5. 1. 21)或式(5. 1. 22)为拒绝域的检验法称为Wilcoxon秩和检验法(Wilcoxon rank sum test)，也称为Wilcoxon-Mann-Whitney检验法. 例 5.1.18 设实验观测获得X , Y两样本的观测值如表5.1.1所示，用Wilcoxon秩和检验法检验两样本总体F, G 有无差异： H0： F(x) = G(x) ? H1： F(x) ? G(x) ， 表5.1.1 X 2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41 Y 4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54 将两样本混合统一排序，得到表5.1.2 表5.1.2 X 2.36 2.76 3.14 3.48 5.43 6.54 7.41 7.52 Y 3.28 4.25 4.38 6.54 6.54 7.21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10