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§7-山东省教师教育网高考复习科目:数学 高中数学总复习
I. 基础知识要点 一、概率.
1. 概率:随机事件A的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年n个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是
1m,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)?. nn
3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率,等于事件A、B分别发生的概率和,即P(A+B)=P(A)+P(B),推广:P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An).
②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红...............桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为其中一个必发生. 注意:i.对立事件的概率和等于1:P(A)??P(A?)?1. ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此,当两个事件同时发生的概率P(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如:从一副扑克牌(52张)中任抽一张设A:“抽到老K”;B:“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件,但P(A)?
互斥
对立
412611
.又事件?,P(B)??,P(A)?P(B)?
521352226
21,因此有
?5226
AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有P(A?B)?P(A?)P(B)?P(A?B).
推广:若事件A1,A2,?,An相互独立,则P(A1?A2?An)?P(A1)?P(A2)?P(An). 注意:i. 一般地,如果事件A与B相互独立,那么A 与B,A与B,A与B也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.
④独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k
kn?k次的概率:Pn(k)?Ck. nP(1?P)
4. 对任何两个事件都有P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B) 二、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件:
①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量,a,b是常数.则??a??b也是一个随机变量.一般地,若ξ是随机变量,
f(x)是连续函数或单调函数,则f(?)也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为:x1,x2,?,xi,?
ξ取每一个值x(
i?1,2,?)的概率P(??x)?p,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.
112i注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如:??[0,5]即?可以取0~5之间的一切数,包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k
kn?k次的概率是:P(ξ?k)?Ck[其中k?0,1,?,n,q?1?p] npq
于是得到随机变量ξ的概率分布如下:我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作?~B(n·p),其中n,
kn?kp为参数,并记Ck?b(k;n?p). npq
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.
②
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