第四章-电磁场与电磁波.ppt

静态场的分类： 1、分布型问题：已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。 2、边值型问题：已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。 本章重点 边值问题的唯一性定理 镜像法（间接法） 分离变量法（直接法） 有限差分法（数值法） 一、唯一性定理： §4.3 镜像法(间接求解法) 静电感应：导体因受外电场作用而发生电荷重新分布的现象，称为静电感应。 感应电荷：导体上因静电感应而出现的电荷，称为感应电荷，感应电荷一般来说是不均匀的。 镜像法定义：暂时忽略边界的存在，在所求区域之外放置虚拟电荷来代替实际导体表面上复杂的感应电荷分布来进行计算的方法。虚拟电荷被称为镜像电荷 镜像法目的：把原问题中包含典型边界的计算问题化为无限大均匀媒质空间中的问题求解，达到简化求解目的。 镜像法理论依据：唯一性定理 因此引入镜像电荷后，应有： 》电位函数仍然满足原拉普拉斯方程或泊松方程 》电位分布仍满足原边界条件 镜像电荷位置选择原则： 镜像电荷需位于求解区域外，电位函数满足原方程 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件 镜像法的应用领域（分布在导体附近的电荷产生的场） 无限大导体平面附近的点电荷或线电荷产生的场 位于导体球附近的点电荷产生的场 位于无限长圆柱导体附近的平行线电荷产生的场 镜像法主要步骤 根据求解问题特点确定坐标系 根据唯一性定理，利用边界条件和拉普拉斯方程确定镜像电荷的位置和大小。 根据求得的镜像电荷的位置和大小，求其与原电荷共同产生的电场和电位等等。 §4.3.1 平面镜像法 续 §4.3.2 球面镜像法 续： §4.4 分离变量法 分离变量法：把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法。 适用范围： 》要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合 》在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。 种类： 》直角坐标系中的分离变量法 》圆柱坐标系中的分离变量法 》球坐标系中的分离变量法 积分常数的大致确定方法： 若在某一个方向（如x方向）的边界条件是周期的，则分离常数是虚数，其解选三角函数； 若在某一个方向的边界条件是非常周期的，其解选双曲函数或者指数函数。其中：有限区域选双曲函数，无限区域选指数衰减函数； 若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为零，其解为常数。 分离变量法的求解步骤： 建立正确的坐标系，确定变量的个数； 利用自然边界条件求方程的通解； 利用电磁边界条件求方程的定解，即求出待定系数 方法 简单迭代法 步骤：先对每一网格点 设初值。然后按固定顺 序（从左到右，从下到 上），利用二维拉普拉 斯方程的有限差分形式 用围绕它的四个点的电 塞德尔（Seidel）迭代法 超松弛法： 作业 P116 3 P118 21 三个重要的数学定理 定理1：如果函数y1(x)和y2(x)是方程y”+py’+qy=0的两个特解，则y=c1y1(x)+c2y2(x)也是方程的特解。 定理2：如果函数y1(x)和y2(x)满足条件：y1(x)/y2(x) ≠常数，则函数y1(x)和y2(x)线性无关。 定理3：如果函数y1(x)和y2(x)是方程y”+py’+qy=0的两个线性无关的特解，则y=c1y1(x)+c2y2(x)是方程的通解。 直角坐标系中的分离变量法 应有条件：界面形状适合用直角坐标系表示。 分析方法：先用分离变量法求通解，再重点利用边界 条件求定解。 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 变量分离： 设 ，将其代入上式，得 除以XYZ，得 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 其中： α,β,γ为常数，但不能全 为实数或全为虚数 常微分方程的解： 以X”/X=α2式为例，说明X的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α20时，令α=±jkx(kx为正实数)，则 当α20时，令α=±kx，则 a，b，c，d为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似 或 或 例4-7 横截面为如图所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U0， 求此区域内的电位。 解：导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程和边界条件： 用分离变量法求解过程： =0 设 代入 通过引入分离常数k，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分别解这两常微分方程可得原问题的通解 解常微分方程（k值取值不同解形式不同） 当k=0时： 当k≠0时： 由于三角函数具有