Chapter4.2常系数线性微分方程的解法-4.2.1-2齐次线性微分方程和欧拉方程.ppt

第四章第2节 常系数线性微分方程的解法 第四章 高阶微分方程 第2节 常系数线性微分方程的解法 4.2.1 复值函数与复值解 复值函数 如果对于区间 a? t ?b 中的每一实数 t,有复数 z(t)=?(t)+i?(t) 与它对应,其中 ?(t) 与 ?(t) 是定义于区间 a?t?b 上的实函数,则称区间 a?t?b 上给定了一个 复值函数 z(t). 如果实函数 ?(t) 与 ?(t) 当 t 趋于 t0 时有极限,就称复值函数 z(t) 当 t?t0 时有极限,并且定义 复函数的连续性与可微性 若 则称复函数 z(t) 在 t0 连续(等价于?(t) 与 ?(t) 在 t0连续). 若极限 存在,则称 z(t) 在 t0 有导数(可微),并记为 z?(t0) 或 z(t) 在 t0 有导数等价于 ?(t) 与 ?(t) 在 t0 有导数,且有 设 z1(t), z2(t) 是定义在 a?t?b 上的可微函数,c 是复值常数,有以下等式: 复指数函数形式 设K=?+i?是任一复数, ?, ? 是实数, t 是实变量,定义 eKt=e(?+i?)t=e?t(cos ?t+isin ?t) 则有: 设 K?=??i? 是 K=?+i? 的共轭复数,则有 函数eKt的其它性质: 结论 实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似,而复指数函数具有与实指数完全类似的性质. 线性微分方程复值解的定义 定义于区间 a?t?b 上的实变量复值函数 x=z(t) 称为方程(4.1)的复值解,如果 对于 a? t ?b 恒成立. 定理8 如果方程(4.2)中所有系数 ai(t)(i=1,2,…,n) 都是实值函数,而 x=z(t)=?(t)+i?(t) 是方程的复值解,则 z(t) 的实部 ?(t),虚部 ?(t) 和共轭复值函数也都是方程(4.2)的解. 定理9 若方程 (ai(t),u(t),v(t) 都是实值函数)有复值解 x=U(t)+iV(t),那么这个解的实部 U(t) 和虚部 V(t) 分别是以下方程的解: 4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 n 阶常系数齐次线性微分方程 方程中的有系数均为常数. 欧拉待定指数法(特征根法) 一阶常系数齐次线性微分方程通解: x=e?at . 设方程(4.19)也有指数形式的解 e?t 的,? 为待定常数 代入方程有 从而方程变为 则可知, e?t是方程(4.19)的解的充要条件是 ? 为代数方程?n+a1?n?1 +…+an-1?+an=0的根. 方程 ?n+a1?n?1 +…+an-1?+an=0 称为常系数齐次线性微分方程(4.19)的 特征方程,其根称为 特征根. 特征根--分类讨论 (1)特征根是单根的情形 设 ?1, ?2,…, ?n 是特征方程的n个彼此不相等的根,则微分方程相应地有如下 n 个解: 验证这 n 个解线性无关: 由于 ?i??j (i?j), 所以上述范德蒙行列式不等于零. 所以W(t) ?0,即这n个解是线性无关的. 实根 如果 ?1, ?2,…, ?n 是n个实数,则原微分方程有n个线性无关的实数解,则其通解为 复根 若方程有复根,并假设某对共轭复根为:?=? ?i?, 则微分方程也对应有两个复数解: 复值解对应的实数形式为: 所以复值解对应的通解形式为: 例1 求方程的通解. 例2 求解方程. (2)特征根有重根的情形 设特征方程有 k 重根 ?=?1,则可知有 F(?1)=F?(?1)=…=F(k?1)(?1)=0,F(k)(?1)?0. A 若 ?1=0,即特征方程有 k 重零根,则特征方程有因式 ?k.特征方程变为: ?n+a1?n?1 +…+an?k?k=0. 此时,对应微分方程为: 它有 k 个解: 1, t, t2,…, tk?1,而且这些解是线性无关的. B 若?1?0,可作变换 x=ye?1t. 则x(m)=(ye?1t)(m) 可得 于是原微分方程化为 其相应特征方程为 另外有 从而 由此可知,特征方程(4.21)的根 ?1(?0) 对应于特征方程(4.24)的根?=?1=0,且重数相同. 由此可得原微分方程的 k 重非零根对应有 k 个解: 假设方程的所有特征根为: ?1, ?2,…, ?m,它们的重数分别为: k1, k2, …, km, ki?1,且 k1+k2+…+km=n. 则微分方程有以下解: 这些所有解如果线性无关,则可构成微分方程的基本解组. 以下验证特征