大学线性代数第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量.ppt

定义 设A为复数域C上的n阶矩阵, 如果存在数λ0?C和非零的n维向量X0, 使得 AX0=λ0X0, 就称λ0是矩阵A的特征值（eigenvalue）, X0是A的属于(或对应于)特征值λ0的特征向量（eigenvecter）.注意: 特征值问题是对方阵而言的, 本章的矩阵如不加说明, 都是方阵. A X0=λ0 X0(1) 特征向量一定是非零向量.(2) 特征向量是属于某一个特征值的, 它不能同时属于两个不同的特征值.(3) 有了一个特征向量, 就可以有无穷多个特征向量. 特征值和特征向量的性质性质1 若X1和X2都是A的属于特征值l0的特征向量, 则X1+X2也是A的属于l0的特征向量(其中X1+X2?0). 如何求得矩阵A的特征值和特征向量呢? 式子AX=lX?(lE-A)X=0. 由于X是非零向量, 故齐次线性方程组(lE-A)X=0有非零解, 而这等价于 |λE-A|=0. 定义 称 课后思考题 思考题解答 设A2=A, 则A的特征值只能是0或1.证明 设Ax=lx. l是A的特征值. 则 A2x=lAx=l2x.又有 A2x=Ax=lx, 故得lx=l2x, 即(l-l2)x=0. 由于x是非零向量, 故l-l2=0, 即l=0或l=1. * 工程技术中的振动问题和稳定性，往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题. 特征值、特征向量的概念，不仅在理论上起着十分重要的作用，而且可以直接应用于许多实际问题。 证明： 性质2 若X0是A的属于特征值l0的特征向量, 则kX0也是A的属于l0的特征向量(其中数k≠0). 证明： 性质3 若X0是A的属于特征值l0的特征向量, 则 证明： 再继续施行上述步骤 次，就得 为A的特征多项式, 它是以l为未知数的一元n次多项式, 也记为f(l). 称|lE-A|=0为A的特征方程. λE-A称为A的 特征矩阵. 性质4 X0是A的属于特征值l0的特征向量 性质5 l0是A的特征值 我们举例说明求特征值、特征向量的步骤. 特征值、特征向量的求法 例1 求矩阵A的特征值和特征向量, 解 所以A的特征值为 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出全部特征值（注明重数）. 二重特征值 当 时,解方程组 . 由 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求基础解系. 得同解方程组（用消元法或直接对系数矩阵作初等变换均可） 解得基础解系 所以，对应于 的全部特征向量为 得同解方程 当 时，解方程组 ， 由 求得基础解系为 所以,对应于 的全部特征向量为 注意 (1)实矩阵的特征根不一定是实数，且复数 根是共轭出现的. 例如 则 得特征值 (2) 一般n阶矩阵有n个特征根.包括实根和成对的共轭复根（均可能是一重或多重根） 属于实矩阵A的复特征根的特征向量也是复向量，求法与实特征向量并无不同. 例如，属于特征值 的特征向量为： 若 可逆，则 有特征值 有特征值 例2： 且 仍然是矩阵 分别对应于 的特征向量。 为x的多项式，则 有特征值为 A 假定 是n阶矩阵 的n个特征值, 则 关于特征值的一些性质 称为矩阵的迹（trace）. 另外有 . 比较得： 由上式知，矩阵A为奇异矩阵的充分必 要条件是A的特征值至少有一个为零. 例3 A左乘 式两端： λ1左乘 式两端： 综合上面两式，可得： 例4 从而也具有相同的特征值。 ， 解 方法一 方法二 方法三