数值计算方法第四章第五节 拟合.ppt

正交多项式拟合 兰州交通大学数理与软件工程学院 nm0931@126.com 数值计算方法 －*－ * 兰洲交通大学数理学院 4.5 离散数据的曲线拟合 4.5.1 最小二乘拟合 　　对于已知的m+1的离散数据 和权数 ，记 在连续函数空间C[a,b]中选定n+1个线性无关的基函数 ，并记由它们生成的子空间 。如果存在 使得 (4.5.1) 则称 为离散数据 在子空间　中带权 的最小二乘拟合。 函数 在离散点处的值为 4.5 离散数据的曲线拟合 3.5.1 最小二乘拟合 　　对于已知的m+1的离散数据 和权数 ，记 在连续函数空间C[a,b]中选定n+1个线性无关的基函数 ，并记由它们生成的子空间 。如果存在 使得 4.5.1) 则称 为离散数据 在子空间　中带权 的最小二乘拟合。 函数 在离散点处的值为 因此，（2.5.1）右边的和式是参数 的函数，记作 （4.5.2） 这样，求极小值问题（2.5.1）的解 　 ,就是求多元二次函数 　　　　　　　　的极小点 　使得 由求多元函数极值的必要条件有 按内积的定义， 上式可写为 （4.5.3） 可以证明，这样得到的 ，对于任何 ，都有 这方程称为法方程(或正规方程)。这里， 由于 线性无关，故（4.5.3）的系数矩阵非奇异，方程组（2.5.3）存在唯一的解 从而得 . ) ( ) ( 0 * * F ? = ? = x a x k n k k j j 故 是所求的最小二乘拟合。记 ，显然，平方误差 或 均方误差 越小，拟合的效果越好。平方误差有与（4.4.15）相同形式的表达式。 4.5.2 多项式的拟合 即在多项式空间 　　中作曲线拟合，称为多项式拟合。这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间 得基函数为 前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。这是一种线性拟合模型。在离散说据 　的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式 例 2 用多项式拟合表4-7中的离散数据。 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 i 0 1 2 3 4 表4-7 解 作数据点的图形如图4-2，从图形看出用二次多项式拟合比较合适。这时n=2，子空间 的基函数 。数据中没有给出