北师大版必修5：2.1《等差数列》课件.ppt

2.1 等差数列 跟踪练习 跟踪练习 * 请看下面一些数列: 鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22，22.5，23，23.5，24，24.5，…… 某月星期日的日期为 2，9，16，23，30； 一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度为： 89，83，77，71，65，59，53，47(cm) 一、课题引入 思考：它们有何共同特征？ 从第2项起，每一项与前一项的差都等于一个常数. 二、等差数列的定义 如果一个数列{an}，从第2项起每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。 等差数列定义的公式表示： an-an-1=d 例1．已知数列{an}的通项公式为an=3n－5，这个数列是等差数列吗？ 解：因为当n≥2时， an－an－1=3n－5－[3(n－1)－5]=3， 所以数列{an}是等差数列，且公差为3. （1）判断一个数列是否等差数列，应严格按照等差数列的定义来进行。 等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差, 不能颠倒。 跟踪练习：判断下列数列是否等差数列？ （2）作差的结果要求是同一个常数。 可以是整数，也可以是０和负数。 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d,求它的通项公式an ∴a 2＝a1＋d a 3＝a2＋d＝a1＋2d a 4＝a3＋d＝a1＋3d a 5＝a4＋d＝a1＋4d …… 由此得: an＝a1＋(n－1)d （ n∈N+) 解：由等差数列得定义得： an＋1＝an＋d 三、等差数列的通项公式 思考: 还可以有别的方式得到这个公式吗？ 叠加得 … 等差数列的通项公式推导2（叠加） 例2．已知等差数列10，7，4，……； （1）试求此数列的第10项； （2）－40是不是这个数列的项？－56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解：（1）设此数列为{an}， 由a1=10，a2=7，得d=7－10=－3， 得到这个数列的通项公式为 an=10－3(n－1)，即an=－3n+13， 当n=10时，a10=－17. （2）如果－40是这个数列的项， 则方程－40=－3n+13应有正整数解， 解这个方程得 ， 所以－40不是这个数列的项； 如果－56是这个数列的项， 则方程－56=－3n+13有正整数解， 解这个方程得n=23， 所以－56是这个数列的第23项； （1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它的通项公式。 （2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项。 （3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥ 的项 ？如果是，是第几项？ 跟踪练习： 例3： 在等差数列{an}中 ， 已知a6=12 ，a18=36 ,求首项a1 ，公差 d 及通项an 。 分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。 解： 由题意可得 a1+5d=12 (1) ﹛ a1+17d=36 (2) ∴ d = 2 a1 =2 ∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n （1） 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。 *********** （2）等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个 量 。 在等差数列{an}中，已知 （1）a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。 （2）a3=9 , a9=3 ，求 a12 。 1.在等差数列{an}中， an＝a1＋(n－1)d=nd+(a1－d) 可以看出，当公差d=0时，该数列是常数列. 即常数列是等差数列的特殊形式，公差为0. 当公差d≠0时， an是关于n的一次式. 四：性质一：公差的几何意义 思考：若设数列{an}的通项公式是an=an+b，(a，b是常数)，这个数列是等差数列吗？ 因为an－an－1=(an+b) －[a(n－1)+b]=a.(n≥2) 所以{an}是等差数列，其中a是