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第五章 机器人静力学 5.1??机器人的雅可比公式 5.2 机器人的静力学 机器人技术概论 第五章 机器人静力学 5.1??机器人的雅可比公式 5.1.1 微分变换 在对机器人进行操作和控制时，常常涉及机械手位置和姿态的微小变化。这些变化可由描述机械手位置的齐次变换矩阵的微小变化来表示。数学上，这种微小变化可用微分变化来表达。 一.变换的微分 ????? 假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分。 若它的元素是变量x的函数，则T的微分为: 例如给定变换T为： 二. 微分运动 ????? 设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对于基坐标系（静系）进行的(右乘)，总可以用微小的平移和旋转来表示，即 式中， 表示基系微分平移 的变换， 表示基系中绕任意矢量轴 的微 分旋转 的变换。 由上式可得 的表达式： 根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（即给定坐标系）进行的(左乘)，则T+dT可以表示为 所以得 则相对基系有dT=Δ0T，相对i系有dT=TΔi 。这里Δ的下标不同是由于微运动相对不同坐标系进行的。 令 规定，当微分运动相对于基系进行时，上式记为Δ0；当运动相对于坐标系i时，上式记为Δi 。 三.微分平移和微分旋转 由于微分旋转θ→0 ，所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，可把微分旋转齐次变换表示为: 微分平移变换与一般平移变换一样，其齐次变换矩阵为: 于是得 kxdθ=δx，???kydθ=δy?，?????kzdθ=δz 绕任意矢量k 的微分旋转dθ等价于分别绕三个轴x、y和z的微分旋转，即有： 将它们代入Δ得 因此Δ可以看成由 和 两个矢量组成， 叫微分转动矢量， 叫微分平移矢量。 微分转动矢量和微分平移矢量可分别表示为： 和 合称为微分运动矢量，可表示为 解： 例：已知一个坐标系A ，相对固定系的微分平移矢量 ，微分旋转矢量 ，求微分变换dA。 5.1.2??雅可比矩阵 两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可比）。对机器人可看成是从关节空间到机器人操作空间运动速度的传动比，同时也可表示两空间之间力的传递关系。 vx vy 存在怎样的关系 首先来看一个两自由度的平面机械手，如图所示。 图 两自由度平面机械手 位移方程 微分得 矩阵形式 假设关节速度为 ，手爪速度为 。 简写成 ：?dx=Jdθ。 　　式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运动dx之间的关系。 对dx=Jdθ两边同除以dt，得 可以更一般的写成 。 线速度 角速度 因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。 （或v）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度， 为关节速度。 J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ： 式中，x代表操作空间，q代表关节空间。 若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即 可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。 　　由 ，可以看出，J阵的值随手爪位置的不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。 只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即 。 上例平面2R机械手的逆雅可比 于是得到与末端速度 相应的关节速度： 5.2??机器人的静力学 机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力 和力矩 ，统称为末端广义（操作）力矢量。记为 n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量 称为关节力矢量 y0 x0 存在怎样的关系