微分方程的数值解(matlab求解）.ppt

数学模型电子教案 重庆邮电大学 数理学院 微分方程的MATLAB解法 1.常微分方程的符号求解 MATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。该函数的调用格式为： dsolve(eqn1,condition,var) 该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。 ， dsolve在求微分方程组时的调用格式为： dsolve(eqn1,eqn2,…,eqnN,condition1,…,conditionN,var1,…,varN) 函数求解微分方程组eqn1、…、eqnN在初值条件conditoion1、…、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、…、varN给出求解变量。 例6.1 求微分方程的通解。 命令如下： y=dsolve(Dy-(x^2+y^2)/x^2/2,x) %解(1)。方程的右端为0时可以不写 y=dsolve(Dy*x^2+2*x*y-exp(x),x) %解(2) y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x^2),x) %解(3) 例6.2 求微分方程的特解。 命令如下： y=dsolve(Dy=2*x*y^2,y(0)=1,x) %解(1) y=dsolve(Dy-x^2/(1+y^2),y(2)=1,x) %解(2) 例6.3 用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比较。 在MATLAB命令窗口，输入命令： y=dsolve(Dy+2*y/x-4*x,y(1)=2,x) %用符号方法得到方程的解析解 为了求方程的数值解，需要按要求建立一个函数文件fxyy.m： function f=fxyy(x,y) f=(4*x^2-2*y)/x; %只能是y=f(x,y)的形式，当不是这种形式时，要变形。 例6.3 用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比较。 return 输入命令： [t,w]=ode45(fxyy,[1,2],2); %得到区间[1，2]中的数值解，以向量t、w存储。 为了对两种结果进行比较，在同一个坐标系中作出两种结果的图形。输入命令： x=linspace(1,2,100); y=x.^2+1./x.^2; %为作图把符号解的结果离散化 plot(x,y,b.,t,w,r-); 2. 常微分方程组求解 例6.5 求微分方程组的解。 命令如下： [x,y]=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t) %解方程组(1) [x,y]=dsolve(D2x-y,D2y+x,t) %解方程组(2) 问题背景 3.1 Euler 折线法 初值问题的Euler折线法 Euler 折线法举例 Euler 折线法源程序 Euler折线法举例（续） Runge-Kutta 方法 Runge-Kutta 方法 四阶 R-K 方法源程序 Runge-Kutta 方法 Euler 法与 R-K法误差比较 Matlab 解初值问题 dsolve 求解析解 dsolve 的使用 dsolve 举例 dsolve 举例 dsolve 举例 Matlab函数数值求解 Matlab提供的ODE求解器 参数说明 数值求解举例 数值求解举例 Matlab 求解微分方程小结 * * 自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。 由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。 本实验主要研究如何用 Matlab 来计算微分方程（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法－－Euler折线法。 3. 微分方程的数值解 考虑一维经典初值问题 基本思想：用差商代替微商 根据 Talyor 公式，y(x) 在点 xk 处有 具体步骤： 等距剖分： 步长： 分割求解区间 差商代替微商 得方程组： 分割求解区间，差商代替微商，解代数方程 为分割点 k = 0, 1, 2, ..., n-1 yk 是 y (xk) 的近似 例：用 Euler 法解初值问题 取步长 h = (2 - 0)/n = 2/n，得差分方程 当 h=0.4，即 n=5 时，Matlab 源程序见 fulu1.m 解： clear f=sym(y+2*x/y^2)