人教版数学高三年级《双曲线》教学设计.doc

8.2 ： 双曲线 ●知识梳理 定义 1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹 2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（＞1）的点的轨迹 方程 1. －=1，c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0） 2.－=1，c=，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c） 性质 H：－=1（a＞0，b＞0） 1.范围：|x|≥a，y∈R 2.对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 3.顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0） 4.渐近线：y=x，y=－x 5.离心率：e=∈（1，+∞） 6.准线：l1：x=－，l2：x= 7.焦半径：P（x，y）∈H， P在右支上， r1=|PF1|=ex+a， r2=|PF2|=ex－a； P在左支上， r1=|PF1|=－（ex+a）， r2=|PF2|=－（ex－a） 思考讨论 对于焦点在y轴上的双曲线－=1（a＞0，b＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？ ●点击双基 1.（2004年春季北京）双曲线－=1的渐近线方程是 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3. ∴渐近线方程为y=±x=±x. 答案：A 2.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是 A.－=1 B.－=1 C.－=1 D.－=1 解析：可设所求双曲线方程为－y2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2. 答案：A 3.如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是 A.10 B. C.2 D. 解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=. 答案：D 4.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，±）.易求它到中心的距离为. 答案： 5.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________. 解析：利用双曲线的定义. 答案：－=1（x＞0） ●典例剖析 【例1】 根据下列条件，求双曲线方程： （1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）； （2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）. 剖析：设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程. 解法一：（1）设双曲线的方程为－=1， =， －=1， 解得a2=，b2=4. 所以双曲线的方程为－=1. （2）设双曲线方程为－=1. 由题意易求c=2. 又双曲线过点（3，2）， ∴－=1. 又∵a2+b2=（2）2， ∴a2=12，b2=8. 故所求双曲线的方程为－=1. 解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0）， 将点（－3，2）代入得λ＝， 所以双曲线方程为－＝. （2）设双曲线方程为－＝1， 将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1. 评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2=λ（λ≠0）. 【例2】 （2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围. 剖析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值 范围. 解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0）. ① 因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN|||MN|=2. ∵||PM|－|PN||=2|m|0， ∴0|m|1.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上. 故－=1. ② 将①代入②，并解得x2=， ∵1－m20，∴1－5m20. 解得0|m|， 即m的取值范围为（－，0）∪（0，）. 评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解