7。5弦割法和抛物线法.ppt

华长生制作 华长生制作 * 7.5 弦割法和抛物线法 Newton迭代法 需要求每个迭代点处的导数 复杂！ 弦割法及其收敛性 则Newton迭代法变为 这种格式称为弦截法 几何意义 例. 用弦截法解方程 的根， 解: 并和Newton 迭代法比较 由弦截法 x0=0.5; x1=0.4; x2 = 0.3430962343 x3 = 0.3473897274 x4 = 0.3472965093 x5 = 0.3472963553 x6 = 0.3472963553 由弦截法 要达到精度10-8 弦截法迭代5次 Newton迭代法迭代4次 　　与Newton法不同的是，用割线法计算 时，需要有两个初始值 　。计算 时，要保留上步的 和 　 ，再计算一次函数值 。所以割线法是一种两步迭代法，不能直接用单步迭代法收敛性分析的结果。下面给出割线法收敛性的定理。 因f(x)有二阶导数，所以有 其中 在 之间， 在包含 的最小区间上。记 ， 有 若 则利用 得： 这说明 时，序列 。又由于： 所以，当 时， ，即 收敛到 。从上式也可知割线法至少是一阶收敛的。 进一步确定收敛的阶，这里我们给出一个不严格的证明。由 这里 。令 ，代入得 我们知道，差分方程 的通解为 ，这里， 为任意常数， 和 是方程 的两个跟。当k充分大时， 设 ，c为常数，则有 这说明割线法的收敛阶为 。定理证毕 。 还有如下割线法的非局部收敛定理 　　割线法的收敛阶虽然低于Newton法，但迭代一次只需计算一次 函数值，不需计算导数值 　，所以效率高，实际问题中经常使用。与割线法类似，我们可通过三点 作一条抛物线，适当选取它与x轴交点的横坐标作为 。这样产生迭代序列的方法称为抛物线法，亦称Muller方法。 　　下面给出抛物线法的计算公式。过三点 的插值多项式为 二次方程 有两个根，我们选择接近 的一个作 ，下面来写迭代公式 . * * * * *