常微分方程数值解法-good.ppt

数值计算方法 第七章 常微分方程数值解法 在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。 7.0 基本概念 1. 一阶常微分方程的初值问题 (7.0-1) 注：若f 在D = {a ? x ? b , | y |+?}内连续，且满足Lip条件： ?L ?0，使 |f (x，y1) – f (x，y2)| ? L|y1 – y2| (7.0-2) 则(7.0-1)的连续可微解y(x)在[a，b]上唯一存在。 2. 初值问题的数值解 称(7.0-1)的解y(x)在节点xi处的近似值 yi ? y(xi) a x1 x2 ... xn = b. 为其数值解，方法称为数值方法。 注： ① 考虑等距节点: xi = a + ih，h = (b – a)/n. ② 从初始条件y(a) = y0出发，依次逐个计算y1，y2，…，yn的值，称为步进法。 两种：单步法、多步法。 ③ 二阶常微分方程y(x) = f (x，y(x)，y(x))可设为一阶常微分方程组的初值问题： 引进新的未知函数z(x) = y(x)，则 其初始条件为： 称为一阶微分方程组的初值问题，方法类似。 ④ 边界问题，常用差分方法解。 7.1 初值问题数值解法的构造及其精度 7.1.1 构造方法 对于(7.0-1)可借助Taylor展开（导数法）、差商法、积分法实现离散化来构造求积公式： 1. 设y ? C[a，b]将y(xi+1) = y(xi+h)在xi处展开 ? ?[xi，xi+1] ? y(xi+1) ? yi+hf (xi，yi) 其中yi ? y(xi). 称yi+1 = yi + hf (xi，yi). i = 0，1，2，...，n – 1 (7.1-1) 为Euler求解公式，（Euler法） 2. 用差商来表示： 得差分方程： ? yi+1 = yi + hf (xi，yi). 即为Euler公式。 若记 ? yi+1 = yi + hf (xi+1，yi+1). (7.1-2) 称为向后Euler法。 注：① Euler法为显式，向后Euler法为隐式——须解出yi+1. ② 可用迭代法yi+1 (k+1) = yi + hf (xi+1，yi+1(k)) k = 0，1，2，… 解得yi+1 ，其中yi+1(0) = yi + hf (xi，yi). 3. 对(7.0-1)两边取积分得 (7.1-3) 取不同的数值积分可得不同的求解公式，如： ① 用矩形公式： ? y(xi+1) ? y(xi) + hf (xi，y(xi)) ? Euler 公式 y(xi+1) ? y(xi) + hf (xi+1，y(xi+1)) ? 向后Euler 公式 ② 用梯形公式： ? ? (7.1-4) 称(7.1-4)为梯形公式??隐式公式。 显化：预估值： 校正值： (7.1-5) 称(7.1-5)为改进的Euler公式 4. 几何意义 Euler法??折线法 改进Euler法??平均斜率折线法 7.1.2 截断误差与代数精度 定义7.1-1 ① 称 ?i = y(xi) – yi 为数值解yi的（整体）截断误差。 ② 若yk = y(xk)，k = 0，1，2，…，i – 1. 由求解公式得数值解 ，则称 为yi的局部截断误差。 注：局部截断误差ei是指单步计算产生的误差，而（整体）截断误差?i则考虑到每步误差对下一步的影响。 定义7.1-2 若求解公式的（整体）截断误差为O(hp)，则称该方法是p阶方法，或是p阶精度。p阶公式 定理7.1-1 设数值解公式：yi+1 = yi + h?(xi，yi，h)中的函数 ?(x，