中南大学数学建模与科学计算绪论.ppt

§2 数学建模过程及其重要意义 设输入数据的规模(size)是 (在网络问题中，一般与节点数及弧数有关，而对一般极值问题，往往与变量数及约束数有关)，设在最坏情况下运算次数是 ，则 称为算法的计算复杂性。 具有什么样的计算复杂性的算法被认为是好的呢？目前计算机科学中广为接受的观点是：多项式时间算法，即 是关于 的一个多项式，或者以一个多项式为上界的。例如 ， ， 等是好的算法；而指数时间算法，即 是关于 的指数式，或以一个指数式为下界的，例如 ， 等情况，则是坏的。这个看法的依据是很明白的，因为当 增大时，指数函数比多项式函数增长快。 §4 误差的种类及其来源 1.4.1 模型误差 1.4.2 观测误差 在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精度 的限制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差，这种误差称为“观测误差”或“初值误差”。 算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行“截断”，即仅保无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。这就带来了误差，称它为“截断误差”或“方法误差”。例如，函数 和 可分别展开为如下的无穷幂级数： 则由于它们的第四项和以后各项都舍弃了，自然产生了误差。这就是由于截断了无穷级数自第四项起的后段的产生的截断误差。(1.4.3)和(1.4.4)的截断误差是很容易估算的，因为幂级数(1.4.1)和(1.4.2) 都是交错级数，当 时的各项的绝对值又都是递减的，因此，这时它们的截断误差 可分别估计为： §5 绝对误差和相对误差 例1.5.1 用有毫米刻度的尺测量不超过一米的长度。读数方法如下： 如长度接近于毫米刻度，就读出该刻度数作为长度的近似值。显然，这个近似值的绝对误差限就是半个毫米，则有 1.5.2 相对误差和相对误差限 用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度。例如测量10米的长度时产生1厘米的误差与测量1米的长度时产生1厘米的误差是大有区别的。虽然两者的绝对误差相同，都是1厘米，但是由于所测量的长度要差十倍，显然前一种测量比后一种要精确得多。这说明要评价一个近似值的精确度，除了要看其绝对误差的大小外，还必须考虑该量本身的大小，这就需要引进相对误差的概念。 由（1.5.4）可见，相对误差可以从绝对误差求出。反之，绝对误差也可由相对误差求出，其相互关系式为： 例1.5.2 称100 千克重的东西若有1千克重的误差和量100米长的东西有1米长的误差，这两种测量的相对误差都是 。与此相反，由于绝对误差是名词，有量纲，上例中两种测量的绝对误差1千克和1米的量纲不同，两者就无法进行比较。  §6 有效数字及其误差的关系 1.6.1 有效数字 在表示一个近似值的准确程度时，常用到“有效数字”的概念。 例1.6.1 ，若 按四舍五入取四位小数，则得的近似值为3.1416；若取五位小数则得其近似值为3.14159。这种近似值取法的特点是误差限为其末位的半个单位，即 式中 都是 中的一个数字， 是正整数， 是整数。 若 的误差限为： 到 0.0001 ；而后者则具有五位有效数字，即精确到0.000001。可见，两者的精确程度大不相同，后者远较前者精确（差100倍）。因此，有另一种情况， 1.6.2有效数字与误差的关系 由(1.6.2)可知,从有效数字可以算出近似数的绝对误差限;有效数字的位数越多,其绝对误差限也就越小，且还可以从有效数字求出其相对误差限。 由(1.6.4)可见,有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。 上述关系的逆也是成立的，即当用 (1.6.1) 表示的近似值，如果其相对误差能满足 例1.6.4 当用3.1416来表示的近似值时,它的相对误差是多少?  §7 误差的传播与估计 1.7.1 误差估计的一般公式 （1.7.2） （1.7.1）和（1.7.2）可推广到更为一般的多元函数 中，只要将函数 在点