华东理工高等数学(上)11学分课件PPT-73物理应用.ppt

7.3 物理应用 一. 功 * O a x x+dx b x f(x) 设一物体在力f(x)(连续)的作用下沿x轴从点a移动到点b, 且力的方向始终平行于x轴, 求在力f(x)的作用下该物体从点a移动到点b所作的功. 在[a, b]上任取一小区间[x, x+dx], 在力f(x)的作用下该物体从点x移 动到点x+dx所作的功: 在[a, b]上积分得: ?W?f(x)dx, 即, 功W的微元: dW=f(x)dx, * * * * 例5 从深井中吊水 , 一吊桶自重 4 公斤 , 缆绳 2公斤/m , 用缆绳从 30 m 深的水井吊水 , 初始时 桶内装有 40 公斤的水 , 并以 2m /秒 的速度匀速 上升 , 且桶内水以 0.2 公斤/ 秒 速率从桶壁小孔 流出 , 问将水吊至井口需作多少功 ? 解 取坐标如图所示 将水吊至井口所作的功 w = = 拉起缆绳所作的功 w1 + 拉起吊 桶所作的功 w2 + 提水所作的功 w3 * (1) 拉起缆绳所作的功 w1 在缆绳上取一微元段 [ x , x + dx ] , 将其提至井口所作的功为: * (2) 拉起吊桶所作的功 w2 (3) 提水所作的功 w3 吊一桶水需要时间: (秒) 在时刻 t , 桶中的水的质量: (公斤) 在 [ t , t+? t ] 时间段 , 水被提升的距离: * 所作的功为 所以将水吊至井口所作的功: * 面积为 A 的平板 设液体密度为 ? 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 平板一侧所受的压力为 ? ? 二. 液体的侧压力 * * * 内容小结 (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微元的几何形状有: 扇、片、壳 等. (2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: 2.定积分的物理应用: 变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等. 条、段、环、带、 * 备用题 如图，半径为10m 的半球形水池中盛满了水,设抽水机每分钟作功为常量 千焦耳,则水深为 5m时,水面下降的速率是多少? 解法一: 水池截面方程为 t分钟时水深 * 对t 求导, 当水深为5m 时,水面下降的速率是 * 当水深为5m 时,水面下降的速率是 解法二: 在时间间隔 内,水深 代入 得 * * *