二特征向量的应用ppt.ppt

* 我们已经学过了矩阵A与一个平面向量 .但实际问题大多可归结为研究二阶矩阵的方幂 乘以一个平面向量 ,当n很大时,直接用矩阵的乘法、矩阵与向量的乘法会很麻烦.能否找到一种简单的计算方法? 了解特征向量在实际问题的应用. 知识与技能 掌握二阶矩阵的方幂与一个平面向量的乘积的简单计算方法; 过程与方法 情感态度与价值观 让学生体会特征向量在实际问题的应用,展现矩阵的广泛应用. 通过归纳总结的方法研究二阶矩阵的方幂与一个平面向量的乘积. 重点 难点 特征向量在实际问题的应用. 的简单表示. 探究1 设A是一个二阶矩阵, 是任意一个平面向量,能否简捷地计算 ?能否给出它的计算公式? 设关于x轴的反射变换σ： 与之对应的二阶矩阵A= 可求得矩阵A的特征值为 和 是分别属于特征值 的特征向量. 取向量 分别为特征向量 ∴ 对于任意的正整数n n n 设A是一个二阶矩阵, 是矩阵A的属于特征值 的任意一个特征向量,则 探究2 对反射变换σ , 为任意平面向量，能否给出 即 的表达式? 任意的平面向量 ,可找到实数 使得 …… n－1 n 性质1 设 是二阶矩阵A的两个不同的特征 值, 是矩阵A的分别属于特征值 的特征向量,对于任意的非零平面向量 , 设 , 为实数,则对任意的 正整数n , 有 数学归纳法 证明:(1)当n=1时 ∴性质1成立; (2)假设当n = k－1时性质1成立,即: 当n=k时 ∴当n=k 时,性质1成立. 在扩散理论中的应用 设某物质能以液态和气态的混合状态存在,又假设在任意一分钟内 (1)液态的5%蒸发成气态; (2)气态的1%凝结成液态. 现在这些物质中70%是气态的. 求:1分钟以后气态物质占总物质的比例是多少?2分钟?10分钟?最终的情况如何? 利用 的简单表示解决这一类实际问题 先设 分别表示现时刻气态物质与液态物质占总物质的比例数. 分别表示n 分钟后气态物质与液态物质占总物质的比例数. 记总物质为N. ⑴ 1分钟后 气态物质： 液态物质： 即： 矩阵表示形式： 记矩阵P = = P 矩阵P 描述了1分钟以后气态物质和液态物质的转变情况 类似上述推导过程得: …… ① ② ③ ④ ∴1分钟以后,气态物质占总物质的70.8%, 液态物质占总物质的29.2%. ≈ 由②式得： (2) 2分钟后 ∴2分钟以后,气态物质占总物质的71.6%, 液态物质占总物质的28.4%. (3) 10分钟后 若依③式直接计算会很麻烦,因为问题已经 转化为 利用性质1 首先求出矩阵P = 的特征值 及对应的特征向量. 特征值： 对应的一个特征向量分别为 和 设 即： 由性质1得 ≈ ∴10分钟以后,气态物质占总物质的76.2%, 液态物质占总物质的23.8%. ∴对任意的自然数n ,由性质1得 *