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数列通项公式的求法 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4） 二、公式法 例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 如1.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（） (A) (B) (C) (D) 如2.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。 解析：由题意，，又是等比数列，公比为 ∴，故数列是等比数列，，∴ 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 三、??????叠加法 例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 例4. 若在数列中，，，求通项。 四、叠乘法 例5：在数列｛｝中，=1, (n+1)·=n·，求的表达式。 例6. 已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式。 五、Sn法利用(≥2) 例7：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。（2） 六、待定系数法： 例8：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn 解：设 如1.已知数列中，，， 其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。 解析：递推公式一定可表示为 的形式。由待定系数法知： 故数列是首项为，公比为的等比数列，故 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。 七、辅助数列法 例9：已知数的递推关系为，且求通项。 解：∵∴令则辅助数列是公比为2的等比数列 ∴即∴ 数列中，，，，求。 解析：在两边减去，得 ∴是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得 = =…= == 例11：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。 解：∵∴，设，则 故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列∴∴ 点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。 答案：例1：解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为： （2）（3）（4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系。 例2：解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d， ∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2， ∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1 例3解易知∵…… 各式相加得∴ 点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。 例4.解析：由得，所以，，…，， 将以上各式相加得：，又所以= 5 解：由(n+1)·=n·得，=··…=所以 6 解析：首先由易求的递推公式： 将上面n—1个等式相乘得： 点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。 例7 解：（1）===3 此时，。∴=3为所求数列的通项公式。 （2），当时 由于不适合于此等式。∴ 点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 利用递推关系求数列通项的九种类型及解法 1.形如型 （1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=. （2）若f(n)为n的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得： 时，， ， 所以各式相加得 即：. 为了书写方便，也可用横式来写： 时，， =. 例 1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足, 证明 证明：由已知得： =. 例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案： 例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案： 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 例4.