浙江大学秋冬学期微积分课程期末考试试卷以下.doc

浙江大学2012-2013学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷 以下1至10题每题6分，11至14题每题10分，解题时应写出必要的解答过程 1、设，求． 2、设函数可导，是由方程所确定的可导函数，求． 3、设是由参数方程 所确定，求． 4、计算定积分求．　 5、计算反常积分． 6、求极限．　 7、求极限．　． 8、求极限．　 9、求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域． 10、将函数展开成的幂级数，并写出成立的开区间． 11、求不定积分． 12、设在区间上为正值的连续函数，试证明： （I）存在使得以曲线为顶在区间上的曲边梯形面积等于以为高，以区间为底的矩形面积． （II）若增设可导且，则（I）中的是唯一的． 13、设在区间内可导，并设，． （I）求，（）； （II）讨论曲线在区间内的凹凸性，并求其拐点坐标． 14、设． （I）计算，并证明，（）； （II）证明级数条件收敛． 浙江大学2012-2013学年秋冬学期《微积分》期末考试试卷答案 1、设，求． 解：． 2、设函数可导，是由方程所确定的可导函数，求． 解：，． 3、设是由参数方程，所确定，求． 解：　， ． 4、计算定积分求． 解： （其中为偶函数，为奇函数） （令） ． 5、计算反常积分． 解： =； 或，令 ． 6、求极限． 解：　 （注：分母 ） ． （注：分子 ） 7、求极限．　 解： （ 注：） （洛必达法则） ． （ 注：） 8、求极限． 解：　 （令） 9、求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域． 解：因为，所以收敛半径， 当时，即当时，级数绝对收敛， 收敛区间为：， 当时，级数为收敛； 当时，级数为发散， 收敛域为：， 10、将函数展开成的幂级数，并写出成立的开区间． 解：，其中 ， （）； ， （）， 所以， （）． 11、求不定积分． 解： （注：） 12、设在区间上为正值的连续函数，试证明： （I）存在使得以曲线为顶在区间上的曲边梯形面积等于以为高，以区间为底的矩形面积． （II）若增设可导且，则（I）中的是唯一的． 证：（I）由题意要证，存在，使， 为此，作辅助函数：， 有 ，且在区间上连续， 由连续函数的介值定理，存在，，即，， 因此，（I）成立． （II）由于 ， 所以在区间上严格单调增，即在区间内至多一个零点， 所以（I）中的是唯一的． 13、设在区间内可导，并设， （I）求，当时； （II）讨论曲线在区间内的凹凸性，并求其拐点坐标． 解：（I）当时， ， （II）求 ， 由于，所以，当时， ，曲线向上凹； 当时，，曲线向下凹（凸）； 当时， ，且，曲线有拐点． 14、设． （I）计算，并证明，当时； （II）证明级数条件收敛． 解：（I） ， 由于，当时，，， 所以，数列，正项，且单调减少， 则有， ， 从而有 ， 于是 ，即 ． （II） 由于 ，由比较判别法，级数发散， 而交错级数满足莱布尼茨定理的条件：单调减少， 且 ，由夹逼定理，，所以 收敛， 即，条件收敛． 1