研究性问题解法初探.doc

研究性问题解法初探 回顾近几年高考中的研究性问题，题目本身没有给出明确的结论，只是提出几种可能，需经过观察、分析，才能得出解题方法。但并没有象应用题一样，稳中有创新。每年都不外乎归纳型和存在型两类，或者分为条件追溯型、结论探究型、方法探究型。因此，本人在高三带领学生复习中，针对这些题型进行训练。下面，将我对这类题型的复习心得写出来，以求得到同行的指教。 一、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探究，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，值得注意的是：学生常常会不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件。 例1、（2002年全国文）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： （1）焦点在Y轴上；（2）焦点在X轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为6；（4）抛物线的通径长为5；（5）由原点向抛物线的过焦点某条直线作垂线，垂足坐标为（2,1），能使这抛物线为的条件是　　　　。（要求填写合适条件的序号） 分析：本题要求学生能从结论出发探求结论成立的必要条件，而后加以对照，可知应填（2）、（5）。 注：对条件或结论不明确的探究性问题，对培养学生的潜能和创新意识，特别是培养学生的探究能力是十分重要的。 二、结论探究型 这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。 例2、已知函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c的图像过点（－1，0），是否存在常数a、b、c，使得不等式xf（x）（1＋x2）对一切实数x都成立。 分析：假设存在符合条件的a、b、c. 函数y＝f（x）的图像过点（－1，0），所以 a－b＋c＝0 ① 又因为不等式xf（x）（1＋x2）对一切实数x都成立，取x＝1， 得 a＋b＋c＝1 ② 由①、②得：b＝，a＋c＝. ∴f（x）＝ax2＋x＋（－a）. 因为不等式xf（x）（1＋x2）即 对一切实数x都成立，根据判别式求得 a＝，从而c＝.故存在常数a＝c＝，b＝使得不等式 xf（x）（1＋x2）对一切实数x都成立。 例3、已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，问能否在双曲线的左半支上求得一点P，使是P到l的距离d与的比例中项。 分析：在已知双曲线中，a＝5，b＝13，求得c＝13，e＝。 假设在左半支上存在P点符合题意，则=d，即==＝， 所以，.又由双曲线定义知－＝10. 所以，＝，＝， 但在中，＋2c ① 当P在线段上时， ＋＝2c ② 综合①、②得，即，此式错误， 所以假设不成立，故符合题中条件的点P不存在。 例4、在直角坐标系xOy中，给定抛物线C：y＝ax2，问是否存在定点M且不垂直于x轴的任意直线与曲线C恒有两个交点A、B，且?若存在，求出定点M的坐标，若不存在，说明理由。 分析：设存在满足题意的点M，其坐标为（p，q），过点M与x轴不垂直的直线方程为：y＝kx－kp＋q，将其代人C的方程，得：ax2－kx＋kp－q＝0 设其两根为和，则点M符合题意的充要条件是：对任意实数k恒有 由（1）pak＋1－qa＝0，要使它对所有k恒成立，必须p＝0，q＝. 经验证，此时（2）也成立，故存在符合题意的点M（0，）。 三、方法探究型 这类问题的基本特征是：给出一定的条件，要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：运用观察、类比、猜想、模拟等方法探求解题思路，探索成功后再给出证明。 例5、用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m2的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为h，盖子边长为am，容器容积为Vm3，问如何设计容器，使得容器的容积最大？ 分析：设为正四棱锥的斜高，由已知得 由此解得 a＝（h0）V==(h0) 得V＝ 因为 ＝2 V，当且仅当，即h＝1时等式成立， 故当h＝1m时，V有最大值，V的最大值为m3。 注：求某些几何体的体积或某物体的容积的极值，往往用基本的不等式求解。求解的关键是创造几个正数的“和”或“积”是定值这个重要条件，去求出“积”的最大值或“和”的最小值。 解决研究性问题，除采用以上几种常见探究方法外，还可以借助其它一些手段。如利用图形特征，构造模型