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第十章 排队论（一） 排队论研究的内容 性态问题: 排队系统的概率规律, 如队长分布, 等待时间分布等. 最优化问题: 排队系统的最优设计. 统计推断: 判定排队系统的类型. 1. 基本概念 1.1 排队系统的的一般表示 排队规则 排队方式 服务机构安排 服务机构安排 服务机构安排 服务机构安排 1.2 排队系统的组成和特征 1.3 排队系统的分类 1.4 排队问题的求解 已知: 顾客到达间隔时间分布, 服务时间分布. 求: 队长: Ls -- 系统中的顾客数. 排队长(队列长): Lq -- 队列中的顾客数. Ls = Lq + 正在接受服务的顾客数 逗留时间: W S-- 顾客在系统中的停留时间 等待时间: Wq -- 顾客在队列中的等待时间. WS = Wq + 服务时间 忙期, 损失率, 服务强度. 系统状态: n -- 系统中的顾客数 队长无限时: n = 0,1,2,… 队长有限时: n = 0,1,2,…,N 即时制: n = 0,1,2,…,c 状态概率: Pn(t) -- t时刻系统状态是 n 的概率 稳态解: 2. 到达间隔分布和服务时间分布 2.1 经验分布 例: 一般表示 τi -- 第 i 个顾客的到达时刻 si --第 i 个顾客的服务时间 ti --第 i 个顾客与第i+1个顾客的到达 间隔时间 wi --第 i 个顾客的等待时间 当第 i+1 个顾客到达时，服务员忙： 当第 i+1 个顾客到达时，服务员闲： 有： 例: 平均间隔时间=142/40=3.55(分钟/人) 平均到达率=41/142=0.28(人/分钟) 平均服务时间=127/41=3.12(分钟/人) 平均服务率=41/127=0.32(人/分钟) 2. 2 普阿松(Poisson)分布 N(t) -- [0,t)内到达的顾客数 Pn(t1,t2) -- [t1,t2)内有n=0个顾客到达的概率即: Pn(t1,t2)=P{N(t2)-N(t2)=n} 若Pn(t1,t2)满足以下条件, 呈顾客到达过程为Poisson过程(Poisson流). 记: Pn(t)= Pn(0,t), 由1) 和 2) 有: 没有顾客到 达的概率 求 Pn(t)= ? 用微分方程. 分析[0,t), [t,t+△t)两段, 到达数为n, 分为三种情况, 见表12-7. 则: 2.3 负指数分布 随机变量T的概率密度是: 则称T服从负指数分布, 其分布函数为: 负指数分布的性质: 无记忆性: P(Ts+t|Ts)=P(Tt) 输入过程是Poisson流时, 过客到达间隔时间T服从负指数分布. Poisson流中 λ-- 单位时间平均到达的顾客数 1/λ -- 顾客到达平均间隔时间 服务时间有时也服从负指数分布, 一般: μ-- 单位时间平均服务完成的顾客数 1/μ -- 每个顾客的平均服务时间 2.4 Erlang 分布 v1,v2,…,vk是k个相互独立的随机变量,服从相同参数(k μ)的负指数分布, 那么: T= v1+v2+…+vk 的概率密度函数为: 我们说T服从k阶Erlang分布. Erlang分布的特性 3. 单服务台负指数分布排队系统分析 3.1 M/M/1模型 求 Pn(t)= ? 建立微分方程, 对M/M/1, [t,t+△t)时间区间内: 1)有一个顾客到达的概率: 没有一个顾客到达的概率: 2)有一个顾客完成服务离开的概率: 没有一个顾客完成服务离开的概率: 3)多于一个顾客到达或离开的概率: 在时刻t+△t, 系统中有n0各顾客, 存在以下情况: 情况 t时刻 在[t, t+△t) t+△t时 顾客数 到达 离开 刻顾客数 A n x x n B n+1 x o n C n-1 o x n D n o