第八章李亚普诺夫稳定性.ppt

厚度控制 – 单机架 自动厚度控制(AGC) AGC 系统的时域阶跃响应 AGC 系统的频率响应 厚度控制 – 连轧 求解轧机的动特性 连轧机的控制系统 出口厚度频率响应 关于不稳定的定义： 定义8-3：若对任意给定的?＞0，无论?多么小，总可以找到满足‖x(t0) ‖＜ ? 的某一初值x0，使得从它出发的运动轨线 x(t, t0, x0) 在某一时刻t1t0，有‖x(t, t0, x0) ‖= ?，则称系统(8-1)的零解是不稳定的。 x(t0) ? ? t t0 t1 定义8-4 若 (a) x=0是稳定的。 (b)存在?(t0)?0，使得对任意的?＞0，存在T(?, t0, x0) ，当‖x(t0) ‖＜ ?(t0)， t ? t0 + T(?, t0, x0)时，有‖x(t, t0, x0) ‖＜ ? 。则称x=0为渐近稳定。 t0 ?(t0) ? t0 + T(?, t0, x0) 1. 此处?(t0)是固定的一个范围(称为吸引区，不是任意小的； T 称为吸引时间或衰减时间)； 2.‖x(t, t0, x0) ‖＜ ? ，t ? t0 + T(?, t0, x0) (a) x=0是稳定的, x在t ? t0的行为已决定 (b) 是 t 充分大时的性质。 讨论： 定义8-4的第二部分(b)又称为关于零解是吸引的。它反映的是解的渐近性质。可以将(b)改成： 存在?(t0)?0，使得‖x(t0) ‖＜ ?(t0) 蕴涵 稳定和吸引（即(a)和(b)）是相互独立的概念，对于一般的系统，它们之间不存在蕴涵关系。苏联人给出了一个著名的反例 (参见黄琳“稳定性理论”，1992，p.7 ），表明一个微分方程的解是吸引的但却不是关于零解稳定的。 正数?(t0) 称为系统渐近稳定的吸引区。若吸引区是整个空间，称系统是关于原点全局渐近稳定的。 定义8-5 若 x=0是一致稳定的。 存在?0 ?0，使得对任意的?＞0 ，存在T(?) ，当‖x(t0) ‖＜ ?0 , t ? t0 + T(?)时有‖x(t, t0, x0) ‖＜ ? 。则称x=0为一致渐近稳定，即 这里，一致性在于：?0 不依赖于t0、且T仅依赖于?，不依赖于t0 、x0。 定义8-6 若存在? ＞0 ，对任意的?＞0 ，存在?(?) ＞0 ，使得当‖x(t0)‖＜ ? (?) ，就有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ ? e?? (t ?t0) ?t≥ t0 成立。则称x=0是按指数渐近稳定的。 这里所定义的稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定和按指数渐近稳定都是局部的概念，即定义中的条件只要在x=0的附近成立即可。但在工程技术上，特别是在控制系统中，所发生的初始偏差并非任意的小，而是有限的或是任意大的。幸好，就我们所讨论的线性系统而言，因其具有齐次性，全局和局部的稳定性是一致的。 显然，以上定义关于t0、 x0是一致的。 指数渐近稳定 稳定 渐近稳定 一致渐近稳定 一致稳定 各种稳定性之间的蕴涵关系 ? ?(t0 , ?) x0 x(t) xe a b c 例：讨论下列时不变系统是否稳定、是否一致稳定、是否渐近稳定： 注：这里 以下同。 例：讨论下列时变系统是否一致稳定、是否渐近稳定、是否一致渐近稳定： 解：容易解出： 类似的例子还可以举出许多，可参看教学参考书或廖晓昕的“稳定性的数学理论及应用” 故系统的零解不是一致渐进稳定的(参见定义8-4)。 可见，系统一致稳定且渐进稳定未必意味着其一致渐进稳定。 二、运动的稳定性 (8-1) 前一节讨论了动态系统的一种特殊的运动——平衡状态的稳定性，现在来讨论系统 任一运动的稳定性问题。我们已经知道，每一个初始状态x(t0)=x0确定唯一的解 一个系统随着初始条件不同可以有很多不同的运动。现在，设我们关心(8-1)的某一个运动： 我们欲研究这个运动的稳定性。我们称这个运动为给定运动，或未被扰运动。 进而，设于初始时刻t0，系统受到干扰，状态由 x0 变成 x0+y0 从这一初始状态出发的运动，即初值问题 的解，称为被扰运动。类比于平衡状态的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等），也可以相应地定义相对于给定运动的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等）。 例：考虑系统： 设给定运动为x(0)=0时的系统响应： 则所有非零初始条件x(0)?0时的系统响应均为（相应于给定运动的）扰动运动。显然，给定运动可视为前面讨论的“零解”。 定义 对于任意的?＞0，都存在?(t0,?)?0，使得当‖x(t