第二讲平面问题有限元.ppt

有限元分析及应用 第二讲 平面问题有限元分析 §1 弹性力学基本方程 弹性力学中的物理量 载荷：外界作用在弹性体上的力。 体力：分布在整个弹性体体积内的外力。如重力和惯性力。 应力：弹性体内某一点作用于某个截面单位面积上的内力，它反映了内力在截面上的分布密度。 应变：外力作用下弹性体产生的变形，包括长度和夹角的变化。 位移：弹性体内质点位置的变化。 三、物理方程 弹性力学基本方程—矩阵表示 平面问题定义 平面应力问题 几何条件：厚度尺寸远远小于截面尺寸，即结构形状呈薄板型 载荷条件：载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而板平面不受任何外力作用。 平面应变问题 几何条件：沿厚度方向的截面形状和大小相同且厚度尺寸远远大于截面尺寸，即结构呈等截面的细长形。 载荷条件：载荷垂直于厚度方向（平行横截面）且沿厚度均匀分布，两个端面不受力。 二、位移函数 定义：假设一种函数来近似表示单元内部的实际位移分布，该函数称为位移函数。（分片插值思想） 可以考虑采用多项式作为近似位移函数，多项式函数运算简便，且随其项数的增多，理论上可以逼近任何精确函数。 首先，建立x－y坐标系，以三角形单元为研究对象，其结点编码为i，j，m，并规定以逆时针方向编码为正向，每个结点可以有2个位移分量（ui，vi；uj，vj；uk，vk），也称为具有2个结点自由度，如图所示。 结构整体刚度矩阵 通过对弹性体离散化总位能中的单元刚度矩阵和结点等效载荷列阵实行尺寸扩充变换，增加其阶数和行数，就可形成一个简洁非离散形式的总位能表达式，而且总位能?p值保持不变。 平面三角形三结点单元的刚度矩阵为6阶矩阵，结点等效载荷列阵为6行列阵，这与单元三结点共有2×3=6个位移相对应，也就是说，单元刚度矩阵的阶数和结点等效载荷列阵的行数要与单元结点位移数相等。 同样，具有n个离散结点的平面弹性体的总刚度矩阵是一个2n阶的矩阵。因此，其单元刚度矩阵和结点等效载荷列阵分别要扩充为2n阶和2n行。 以如图所示的有5个结点和3个单元的弹性平板受集中力p作用情况为例，说明尺寸扩充的具体做法。 该平板的总位能表达式可写成 第一、二、三单元结点位移列阵为 第一、二、三单元刚度矩阵为（行列序号为单元结点序号） 第一、二、三单元结点载荷列阵为 从各单元矩阵可以看出：矩阵元素都以所属结点序号为下标，以所属单元序号为上标； 单元矩阵和列阵尺寸扩充的做法： 按结点数的2倍确定所有矩阵和列阵的阶数和行数，本弹性体共有5个结点，因此阶数和行数为10； 单元结点位移列阵改写为本弹性体全部结点的10阶位移列阵 单元结点载荷列阵扩充改写为10阶的载荷列阵 对扩充为10阶的单元刚度矩阵元素实行“对号入座”式的填写，即只填写与所属结点序号对应的行列位置上的元素，其余位置上的元素写零，具体做法（按2×2子块方式） 改写总位能式为 上式中， 称为结构整体刚度矩阵，即 虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，这就是刚度矩阵的大型和稀疏性。 几种常见载荷表达式如下 （1）均质等厚单元的自重 单元的单位体积重量为ρg，坐标方向如图所示。 三角形单元作用体积力 应有 其中，每个结点的两个等效载荷分量的列矩阵是 （10-29） 式中 则积分 通过选择三角形单元重心为坐标原点，则有 并且由于 则有积分 单元自重的等效结点载荷是 （2）均布侧压 侧压q作用在边ij上， q以压为正，如图所示。 单元边上作用均布侧压 设ij边长为1，与x轴的夹角为α，侧压q在x和y方向的分量qx和qy为 作用在单元边界上的面积力为 在单元边界上可取局部坐标s，沿ij边插值函数可写作 10.3 结点等效载荷 侧压作用下的单元等效结点载荷为 因此 （3）x向均布力 均布力q作用在ij边，如图所示。