微积分无穷大与无穷小.ppt

函数与极限 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、无穷小的阶及其比较 五、等价无穷小代换 小结 作业 P58: 3. 偶4. 偶 5. 偶 例6 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限． 不能滥用等价无穷小代换. 只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小一般不能分别代换. 注意 例7 解 加减法中一般不用等价无穷小代换 例8 解 需要保证主要部分有所保留 1、主要内容: 定义;定理;推论. 2、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆， 零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大. 北京理工大学数学系 无穷是一个永恒的谜 －－－Hilbert 定义1：在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，简称无穷小. 例如： 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （3）零是可以作为无穷小的唯一的数. （2）无穷小是变量的一种变化趋势; 例如, 证 2、无穷小与函数极限的关系: 意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 推论1 在同一过程中, 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 注意　无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大. 是无界变量， 但不是无穷大量 不是无穷大． 无界， 证 证 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论. 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 观察各极限 定义: 例如， 例4 解 ？？？是不是任意两个无穷小都可以进行阶的比较 不存在且不为无穷大 证 必要性 充分性 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 常用等价无穷小: 例5 解 定理3(等价无穷小代换定理) 证 * *