人教A版理科数学《抛物线》必威体育精装版高考总复习讲义教案.doc

第8模块 第8节 [知能演练] 一、选择题 1．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为(　　) A．y2＝8x　　　　　　 B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 解析：由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线， ∴P的轨迹方程为x2＝8y. 答案：C 2．设F为抛物线y2＝ax(a0)的焦点，点P在抛物线上，且其到y轴的距离与到点F的距离之比为1∶2，则|PF|等于 (　　) A. B．a C. D. 解析：设P(x0，y0)，则y＝ax0， 由抛物线定义知|PF|＝x0＋， 由已知得＝，解得x0＝， ∴|PF|＝＋＝. 答案：D 3．已知抛物线y2＝4x，过焦点的弦AB被焦点分成长为m、n(m≠n)的两段，那么(　　) A．m＋n＝mn B．m－n＝mn C．m2＋n2＝mn D．m2－n2＝mn 解析：由题意设直线AB的方程为y＝k(x－1)， 由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1， mn＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 ＝x1＋x2＋2＝m＋n. 答案：A 4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点．若＋＋＝0，则||＋||＋||等于 (　　) A．9 B．6 C．4 D．3 解析：焦点F坐标为(1,0)，准线方程x＝－1，设A、B、C坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，A、B、C在准线上的射影分别为A′，B′，C′. ∴＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，＝(x3－1，y3) ∵＋＋＝0， ∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0， ∴x1＋x2＋x3＝3 ∴||＋||＋||＝|AA′|＋|BB′|＋|CC′| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＝6. 答案：B 二、填空题 5．已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________． 解析：由抛物线y＝ax2－1的焦点坐标为(0，－1)为坐标原点，得a＝，则y＝x2－1与坐标轴的交点为(0，－1)，(－2,0)，(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为×4×1＝2. 答案：2 6．点P到A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于，则这样的点P的个数为__________． 解析：由抛物线定义，知点P的轨迹为抛物线，其方程为y2＝4x，设点P的坐标为(，y0)，由点到直线的距离公式，知＝，即y－4y0±4＝0，易知y0有三个解，故点P个数有三个． 答案：3 三、解答题 7．已知抛物线y2＝2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2，一直角边的方程是y＝2x，求抛物线的方程． 解：因为一直角边的方程是y＝2x， 所以另一直角边的方程是y＝－x. 由解得，或(舍去)， 由，解得，或(舍去)， ∴三角形的另两个顶点为(，p)和(8p，－4p)． ∴＝2. 解得p＝，故所求抛物线的方程为y2＝x. 8．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线方程． 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c.抛物线方程为y2＝4cx. ∵抛物线过点(，)，∴6＝4c·. ∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x. 又双曲线－＝1过点(，)， ∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1. ∴－＝1.∴a2＝或a2＝9(舍)． ∴b2＝，故双曲线方程为4x2－＝1. [高考·模拟·预测] 1．(2009·福建质检)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝|MN|，则∠NMF＝ (　　) A. B. C. D. 解析：如右图，过点N向准线引垂线，垂足为P，由抛物线的定义知|NF|＝|NP|，又|NF|＝|MN|，即|NP|＝|MN|，所以，在Rt△NMP中， sin∠NMP＝＝，即∠NMP＝，故∠NMF＝，答案为A. 答案：A 2．(2009·山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 (　　) A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：不论a值正负，抛物线的焦点坐标都是