1.3.2.函数的极值与导数.ppt

1.3.2函数的极值与导数 小结 练习与作业 小结：1、求极值的方法和步骤。 2、怎样理解函数极值（极值的含义） 练习：P29 1、 2 作业：P32 A组 5 * 单调性与导数的关系： 设函数y=f(x)在某个区间内可导， 如果f ′(x)0，则f(x)为增函数； 如果f ′(x)0，则f(x)为减函数； 如果f ′(x)=0，则f(x)为常数函数； 复习: 观察图像： 函数的极值定义 使函数取得极值的点x0称为极值点 （3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. 注意： o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) （1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值； 观察与思考：极值与导数有何关系？ 对于可导函数, 若x0是极值点,则 f’(x0)=0; 反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点. o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x 增 f?(x) 0 f?(x) =0 f?(x) 0 极大值 减 f?(x) 0 f?(x) =0 增 减 极小值 f?(x) 0 如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ 左正右负为极大，右正左负为极小 导数为0的点不一定是极值点； 若极值点处的导数存在，则一定为0 例题选讲: 解: 令 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, ,y的变化情况如下表: ↗ 极小值- 4/3 ↘ 极大值28/3 ↗ y + 0 - 0 + y’ (2,+∞) 2 (-2,2) -2 (-∞,-2) x 因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3. 求可导函数f(x)极值的 步骤： (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— 如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。 练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 ①可导函数必有极值； ②可导函数在极值点的导数一定等于零； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； ④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。 ② 2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 D 练习： * 函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ） A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不对 A ， 解:由题设条件得： 解之得 通过验证，都合要求，故应选择A。 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 注意代入检验 3. 4.(2006年北京卷)已知函数 在点 处取得极大值5,其导函数 的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） 的值；（2）a,b,c的值； . 略解： (1)由图像可知： (2) 注意：数形结合以及函数与方程思想的应用 *