2.3线性代数讲解.ppt

§3 展开定理与行列式的计算 3.1 余子式和代数余子式 3.2 行列式按一行（列）展开定理 3.3 Laplace定理 3.3 Laplace定理 定义 设 是一个n阶行列式，在D中取定某K个行及 某k个列 ，由这些行与列相交处的元素构成 一个k阶行列式，称之为D的一个k阶子式. 例如 是 的两个2阶子式. 若N所在的行的序数是 ,所在的列的序数是 , 把 叫做子式N的代数余子式 定义 设D是一个n阶行列式, N是D 的某个k阶子式,在D中划去N 所在的行及所在的列后，剩下的n-k阶子式M ，称为子式N的余子式. 余子式为 代数余子式为 余子式为 代数余子式为 定理（Laplace定理） 则含于此k行中的所以k阶子式与其代数余子式的乘积 其中 是D的被选定的k行所含的K阶子式, 注：行列式按行(列)展开定理是Laplace定理的特例 分别为它们的代数余子式， 设D是一个n阶行列式，在D中取定某k行 之和恰好等于D.即 按某k行展开法则 * 3.1 余子式与代数余子式 定义 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 的余子式.记为 称 为元素 的代数余子式. 例如： 注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式. 引理 证明 （1）先证明 的情形。 第一行除 外都是 0 3.2 行列式按一行（列）展开法则 若 阶方阵 的第 行所有元素除 外其余 的元素都为零，那么这个方阵 的行列式 的值等 于 与它的代数余子式 的乘积，即 又 从而 由第一节最后的例题 （2）再证一般情形 把 D 的第 行依次与第 行，第 行，······ 第2行，第1行交换；再将第 列依次与第 列 第 列，······， 第2列，第1列交换，这样共经过 次交换行与交换列的步骤. 把 转化为(1)的情形 外都是0 设第i行除了 由性质，行列式互换两行（列）行列式变号，得 例 定理 证明 n阶方阵A的行列式 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 或 按第 行展开 按行(列)展开法则 类似的，按第 列展开 例如 例1 计算行列式 解 例2 按第二列展开 按第二行展开 例3 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证明 用数学归纳法 (1)当n=2时, 结论成立. (2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，即 现证n阶也成立. n-1阶范德蒙德行列式 把每列的公因子提出 例4 化成上三角行列式 箭形(爪形)行列式 例5 计算 解　显然当x=0或y=0时，D＝0， 当x≠0和y ≠ 0时，采用加边法计算D， 加边法适用于主对角线两侧元素都相同的行列式． 例6 计算 特点:“0”多 方法:采用降阶法找递推公式. 解 按第一行展开,有 递推公式 例7 设有行列式 , 求 ， 其中 为 的代数余子式. 解 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 定理 证明 行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和. 将D中第i 行的元素换成第k行的元素 则 第i行 有两行对应元素成比例，此行列式等于0 综上，得公式 简记为 称为克罗内克符号. 例8 设4阶行列式的第2列元素依次为2,m,k,3,第2列 元素的余子式依次为1,-1,1,-1，第4列元素的代数余子式 依次为3,1,4,2，且该行列式的值等于1,求m,k的值. 解 由于 且第2列元素的余子式依次为 ,因而第2列的 元素的代数余子式依次为 从而有 即 故