7.3 复化求积公式.ppt

第七章 数 值 积 分 * 第一节　引 言 第二节　牛顿—柯特斯公式 第三节　复化求积法 第三节　复化求积法 一. 复化求积公式 本节主要内容: 二. 误差的事后估计与步长的自动选择 三. 小 结 一. 复化求积公式 设将积分区间[a, b]分为n 等份, 步长 分点为 复化求积法是先用低阶的牛顿—柯特斯公式 求得每个子区间[xk-1, xk] 上的积分值Ik-1 , 然后求和, 作为所求积分的近似值. 用 例如, 在子区间 上应用梯形公式 可得复化梯形公式 记 中点为 即 (1) 则复化辛普生公式 (2) 将 四等份, 内分点记为 其它牛顿—柯特斯公式亦可用类似方法加以复化. 得复化柯特斯公式 (3) 定理 1 若 在积分区间 上分别具有二阶, 四阶和六阶连续导数, 则复化求积公式(1), (2)和(3) 的余项分别为 其中 且当 时, 又有 例1 利用复化牛顿—柯特斯公式, 计算 的近似值. (4) (5) (5) 解: 先将积分区间 八等分, 求积公式得 用复化梯形 将积分区间 四等分, 用复化辛普生公式得 复化辛普生求积公式所得近似值 求积公式 比复化梯形 要精确. 二. 误差的事后估计与步长的自动选择 对于复化梯形公式, 当步长 h 较小时, 由(4)式 其余项 则有 即 上式表明, 作为积分真值 I 的近似值的误差 约为 故在将积分区间逐次分半的过程中, 两次计算的结果 可用前后 和 来估计误差与确定步长. 对于复化梯形公式, 其具体方法是: 先算出 和 若 许误差) 为允 则停止计算, 并取 作为积分的近似值； 成立, 否则计算 并检查不等式 是否 继续循环, 直到满足精度要求为止. 对于复化辛普生公式和复化柯特斯公式, 有 可用类似步骤估计 和 的误差. *