8-2_几类简单的微分方程.pdf

E-mail: xuxin@ahu.edu.cn §2 几类简单的微分方程 一、变量分离方程 / 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y )=0 ，从这个 方程中有可能解出y/ ，也有可能解不出来；如果能 解出来一定可以写成y/=f(x,y)；有时候也可以写成 如下对称形式P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0。在上式中x和y 是对称的，所以它既可以看作以x为自变量，y作为 未知函数(Q(x,y)≠0)的微分方程 dy P(x, y) =− dx Q(x, y) 可以看作以y为自变量，x作为未知函数(P(x,y)≠0)的 微分方程 dx Q(x, y) =− dy P(x, y) E-mail: xuxin@ahu.edu.cn 可分离变量的微分方程 ( ) 形如(dg )y fy x dx （1）的一阶微分方程 说明： 1: 不是所有的方程都能这样，故分离变量方程 为一阶线性微分方程的特殊情况； 对（1）两边积分，得其通解为 ∫f (x )dx ∫g (x )dy +C （2） 其中 f (x )dx、g (x )dy 为f (x ),g (x )的一个原函数，C为常数 ∫ ∫ 凡是能化成（1）式的一阶微分方程统称为可变 量分离的微分方程，其主要内型有： E-mail: xuxin@ahu.edu.cn dy dy （1） ϕ(x )h (y ) =⇒ ϕ(x )dx dx h( y) （2）M (x )M (x )dy +N (x )N (x )dx 0 1 2 1 2 dy M (x ) N (x ) ⇒ ϕ x h y =⇒ 1 dy =− 2 dx ( ) ( ) dx N 1(x ) M 2 (x ) 其中N (x ) ≠0、M (x ) ≠0 1 2 2：可变量分离方程的解法： 先分离变量，在两边积分，即得通解； 3：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程 的初始条件。 E-mail: xuxin@ahu.edu.cn dy 例1 求解微分方