2013年高考总复习数学北师(江西版)理教案：第二章2.16　定积分与微积分基本定理.docVIP

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第二章2.16　定积分与微积分基本定理 考纲要求 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义． 知识梳理 1．定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式______________，当n→∞时，上述和式无限接近________，这个______叫作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作________，即＝____________. (2)在中，______分别叫作积分下限与积分上限，区间______叫作积分区间，________叫作被积函数，____叫作积分变量，______叫作被积式． 2．定积分的性质 (1)＝________(k为常数)； (2)＝____________； (3)＝__________(其中a＜c＜b)． 3．微积分基本定理 一般地，如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有＝________. 这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿——莱布尼茨公式． 其中F(x)叫作f(x)的一个原函数． 在计算定积分时，常常用记号__________来表示F(b)－F(a)，即＝＝F(b)－F(a)． 4．定积分的几何意义 (1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分)． (2)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为负时，定积分的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的负值． (3)一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． 5．平面图形的面积 一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积(丙图中的阴影部分)为S，则S＝__________. 丙 6．简单几何体的体积 设由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a＜b)以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V＝__________. 基础自测 1．＝(　　)．A．－2ln 2 B．2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 2．下列值等于1的积分是(　　)． A． B． C． D． 3．函数F(x)＝在[－1,5]上(　　)． A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0，最小值－ C．有最小值－，无最大值 D．既无最大值也无最小值 4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是(　　)． A．1 B． C． D．2 5．根据定积分的几何意义计算定积分：＝__________. 6．用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm，此时用的力是200 N，变力F做的功W为__________J. 思维拓展 1．若积分变量为t，则与是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 一、利用微积分基本定理计算定积分 【例1】计算下列定积分： (1)； (2) 方法提炼计算一些简单的定积分，解题的步骤是： (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值． 请做[针对训练]3 二、利用定积分的几何意义求定积分 【例2】求定积分 方法提炼当利用积分的定义或利用微积分基本定理来求某一定积分不易进行时，可以根据定积分的几何意义来计算．其关键是将被积函数的图像在坐标中画出来，再根据积分区间确定图形的范围和大小，利用相关面积公式求出面积，即得定积分的值． 请做[针对训练]2 三、定积分在物理中的应用 【例3】列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，