2018届北京四中高考数学二轮复习精品资源：专题三+第2讲　立体几何中的向量方法（理）（学生版）+Word版含答案.docxVIP

以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查．1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．(2)线面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2．(3)面面平行α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3．(4)面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0．2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设l，m的夹角为θ，则cos θ＝＝．(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ，则(3)面面夹角设平面α，β的夹角为θ，则热点一　利用空间向量证明平行、垂直关系【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD．证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．(1)向量＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，故·＝0．所以BE⊥DC．(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以向量＝(1，0，0)为平面PAD的一个法向量，而·＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE⊥AB，又BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD．(3)由(2)知平面PAD的法向量＝(1，0，0)，向量＝(0，2，－2)，＝(2，0，0)，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量．且n·＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n⊥．所以平面PAD⊥平面PCD．探究提高　1．利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系．2．向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件，如在(2)中忽略BE?平面PAD而致误．【训练1】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD．证明　(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，C1(0，2，4)．设BA＝a，则A(a，0，0)，所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)．·＝0，·＝0＋4－4＝0，则B1D⊥BA，B1D⊥BD．又BA∩BD＝B，BA，BD?平面ABD，因此B1D⊥平面ABD．(2)由(1)知，E(0，0，3)，G，F(0，1，4)，则＝，＝(0，1，1)，·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF．又EG∩EF＝E，EG，EF?平面EGF，因此B1D⊥平面EGF．结合(1)可知平面EGF∥平面ABD．热点二　利用空间向量计算空间角【例2】(2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．(1)证明　由AM＝2MD，AD＝3．∴AM＝AD＝2．取BP的中点T，连接AT，TN．由于N为PC的中点，所以TN∥BC，TN＝BC＝2．又AD∥BC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT．因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB．(2)解　取BC的中点E，连接AE．又AB＝AC，得AE⊥BC，从而AE⊥AD，AE＝＝＝．以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，＝(0，2，－4)，＝，＝．设n＝(x，y，z)为平面PMN的一个法向量，则即可取n＝(0