必修1数学-幂函数与函数方程.doc

幂函数与函数的零点 一、幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 课堂练习 1，比较下列各式大小 （1）1.5，1.7，1；　　（2）（－），（－），1.1； （3）3.8，3.9，（－1.8）；　　（4）31.4，51.5. 2，函数y＝（x2－2x）的定义域是（　　） A．{x|x≠0或x≠2}　　B．（－∞，0）（2，＋∞）　 C．（－∞，0）［2，＋∞　）　D．（0，2） 3，函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［0，＋∞　］ D．（－∞，＋∞） 4，如图，曲线c1, c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象， 那么一定有（　　） A．nm0 B．mn0 C．mn0 D．nm0 5，下列命题中正确的是（? ? ）A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C．幂函数的 图象不可能在第四象限内　 D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数 6,下列命题正确的是（? ） A.幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 B.图象不经过（-1，1）为点的幂函数一定不是偶函数 C.如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同 D.如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数 7,用“”或””连结下列各式： ， ． 8,设x∈(0, 1)，幂函数y＝的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是 二、方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念： 对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。 2．函数零点与方程根的关系： 方程有实数根函数的图象与有点函数有零点 3．函数零点的存在性定理： 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 ，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 注：若恒成立，则没有零点。 4、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点： 二次函数． （1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点． 6.二分法 (1)对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 . (2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下： 第一步，确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)0,给定精确度ε;第二步，求区间(a,b)的中点c;第三步，计算f(c); (ⅰ)若f(c)=0，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)·f(c)0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); (ⅲ)若f(c)·f(b)0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). 第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步. 例1，(1)已知区间①(-2，-1)，②(-1，0)，③(0，1)，④(1，2)，⑤(2，3)，则三次方程x3+x2-2x-1=0在哪些区间上有根? 练习1，判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1） （2） （3） （4） 例2，用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度为0.1). 解：由于f(1)=1-1-1=-10， f(1.5)=3.375-1.5-1=0.8750， 所以f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算列表如下： 端(中)点坐标 中点函数值符号 零点所在区间 |an-bn| [1,1.5] 0.5 1,25 f(1.25)0 [1.25