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有限群中元素的阶的性质与子群的阶的联系 王琴琳（2005020034） [摘 要] 根据有限群中元素的阶的性质讨论其元素生成的子群的阶。 [关键词] 群 子群 元素 阶 设a为群G的一个元素，e 是G的单位元，使成立的最小正整数n称为元素a的阶。记为。如果这样的正整数不存在，则称a的阶为无限的，记为 设G是一个（乘法）群而G中有一个元素G，使G中每一个元素都是a 的乘方，即，那么称G为循环群，a 叫做G的生成元，习惯上记为，也就是说，G使有生成元a 生成的。 性质1 设是阶循环群中任一元，若，那么。 证明 因为是与的最大公因数，所以并且有，， 则， 并且可知， 首先看 ，若设，所以 （*） 其次，，又因为，所以 ， 因，所以 （**） 由（*）和（**）知， 即。 性质2 （a）为阶循环群，的任一个正因子，（a）都有一个阶子群。 证明 设，且，即,由性质1可知, 所以，以为生成元的循环群是循环群的一个阶子群。 Lagrange定理 设，如果，且有，那么。 证明 因，这表明在中的右陪集只有个，从而有的右陪集分解 （其中） 则 ；所以 即。 由性质2我们能够得到以下的推论。 推论1 有限群的任一元素的阶都是群的阶数的正因子。 证明 设有限群的阶为，中的元素的阶为，则由性质2得 ，生成一个阶是的子群，由Lagrange定理 得，。 定理1 [2] 如果群的阶能被素数整除，则包含着阶的元素。 证明 设（是素数）是的阶，这时，如果，则是阶循环群， 因而定理成立；我们对施行归纳法，如果包含一个真子群，它的指数不能被整除，则的阶能被整除，因而根据归纳假设，包含阶的元素，现在假定的每个真子群的指数都能被整除，那么根据[2]，，这里每个都是的共轭元素类的元素数。每个是的一个真子群的指数，因而根据假设都能整除，这时，因为单位元素自成一类，因此的个数是的陪数，在内一个元素自成一类，必要而且只要它属于的中心，因此的阶能被整除，于是对于，我们有，因此当然更有的元素彼此都可交换，即是阿贝尔群，现在从定理3.31[2]的推论得出，包含阶的元素。综合得，包含着阶的元素。 定理2 [2] 如果的阶是，这里是素数，，则包含着阶为的每个子群至少是一个阶子群的正规子群。 证明 对旋行归纳法来证，由定理1，可以证得，中包含阶子群，设是阶子群，用的二重傍系表出，而没在内有的个右傍系，那么而且对于二重傍系，，又或的方幂。因为，所以等于1的数必须是的倍数。如果，则，因而以及傍系必须属于的正规化子；反之，如果，则，因而，因此，是等于1的数，所以，因此商群的阶能被整除，于是包含一个阶的子群，根据定理2.3.4，。这里，因而是包含作为正规子群的阶子群。 由定理1和定理2我们可以得到以下的结论： 结论 有限群的阶为，则群有一元素的阶为（为素数）的充分必要条件是群中有一个阶的子群。 证明 （必要性） 设，由推论1可以知道使得即被整除，且是素数，由定理2可知群中有一个阶的子群。 （充分性） 设群为有限群的一个子群且，有使得由Lagrange定理有，又因为为素数，所以由定理1我们可以知道群中包含着阶的元素。 根据以上结论我可以很快的判断有限群中是否有子群和某些子群的阶。便于说明群中元素的阶。 [参 考 文 献] [1] 徐德余 唐再良 钟纯真 何聪 李玲 ，《近世代数》，四川大学出版社，2006 [2] M赫尔 ，《群论》，科学出版社，1981