泛函部分2.doc

利用分部积分法，可得 =n个Euler方程/Euler方程组 r=1,2,………,n 以及多种可能的边界条件。 *上式在理论力学中称 Lagrange方程，是具有 n个自由度的保守系统的运动方程。 * Hamilton原理，正是说明Lagrange方程可来自于泛函驻值的求解。 * 若添加多个自变函数及他们的高阶导数，可上一节的和该节的类似联合结果。 　 1.2.6 重积分的驻值问题 边界题的提法：在平面的有一区域Ω,Ω边界为 以c,要求在区域中找一个函数w(x,y),使下列重积分取驻值 J=, 在C1上，（已知） 目的：把上述的化成偏微分方程的边值问题 解：求J的一阶变分，得 寻找δwx,δwy与δw的关系，由高斯定理： α,β是外界的外法线与x,y轴的夹角，s是边界曲线的弧长。 若在上式中取 u=u1(x,y)u2(x,y) v=v1(x,y)v2(x,y) 则得 整理后得，（面积分的分部积分公式） 取： ， , 代入后，便得 因为在c上,c1中w已知，亦δw=0,所以上式线积分仅对c2部份，代入δJ式，经整理得： 为使J取驻值，必须有：（道理同前） 还可再推广至更多重积分和自变函数多个及高阶偏导情况。 1.2.7 三自变量函数的条件驻值问题 remark: i/. 前几节讨论的几类泛函驻值，习惯称为无条件驻值。并不是说完全无条件，至少应有： 1) 自变函数须使泛函有意义； 2）自变函数满足一部分边界条件。但这些条件较易满足，以至不把其作为条件。 ii/. 本节的泛函，除上述条件外，还有其他条件应须满足。 iii/. 求解泛函的条件驻值，常用Lagrange乘子法，与多自变量函数条件驻值的Lagrange 乘子法十分相似。本节先从三自变量函数条件驻值的，讲清拉氏乘子法。 问题：寻找 F=F(x,y,z) 的驻值，并满足条件: Φ(x,y,z)=0 既在空间曲面Φ(x,y,z)=0上寻找F的驻值点。 思路： 转换上述问题为无条件驻值时，有多种办法，称条件Φ的分离难易程度。 若能： 1）将Ψ(x,y,z)=0 = z=f(x,y) = F[x,y,f(x,y)] 2) 将Ψ(x,y,z)=0 = x=x(u,v) ,y=y(u,v), z=z(u,v) = F[x(u,v),y(u,v),z(u,v)] 3) 采用拉氏乘子法 ,取曲面Ψ上的一点p=p(x,y,z) = F(x,y,z), 取曲面Ψ上的另一点Q(x+dx,y+dy,z+dz)是P的邻点 ,因为Q在Ψ面上，故有： 　　 　　　　，在Q点函数值的微分： Note : dr曲面Ψ的切面上的一个无穷小量。与切面上的任意矢量垂直。 , 在P点上，若与平行，则dF=0,即在P的无穷小邻域内找不到能使dF大于或小于零的点，故P为使F取驻值的点， ，若不与平行，可分解成两个矢量，一个与平行，取作 -λ（λ为一适当常数）,另一个与垂直，取作G，即有 = -λ+G G = 0 ，在P上，沿G方向取一无穷小矢量 dr = εG (ε为一无穷小数) ，及的思想代入dF式，得: dF = dr = εG (-λ+G) = εG G ，由此可知，若G不等于零，则可以取或正或负的ε使dF大于或小于零，所以F取驻值的条件为 = -λ = + λ = 0 写成分量形式， 即 , , . 汇用条件:,便可决定x,y,z,λ四个量， 上式条件是F取驻值的充要条件 。 一般作法： a). 构造一个新的函数 把x,y,z,λ看作可以是无条件变化的自变量，求F*的驻值 b). F*取驻值的条件: ，即 ， ， ， c). 由于F*