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泛函分析课程的主要内容 【摘要】近年来随着我国经济的迅速发展，我们与世界的联系越来越紧密。特别是与世界的多个发达国家的接触越来越多，这就要求我们对各个学科领域都有一定的了解。而且我们还要知道如何应用它们去解决一些实际的问题。例如，泛函分析。 泛函分析理论是为克服黎曼积分理论的缺陷而创立的新积分理论，其基础是集合与测度理论，所以也可以称为测度与积分理论。它是数学专业特别是将来从事与分析数学有关系的科技工作者的必备工具。 泛函分析的一个重要特点就是比较抽象，是数学专业学生普遍反映比较难的学科，特别课后习题更是检验学生动手能力的标尺。有些比较难的题目学生更是无从下手。下面我将对泛函分析中学过的主要内容及其与其他学科的联系进行比较系统的整理。 一 泛函分析中的重要空间 1 度量空间 （1）度量空间的定义： 　设为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何属于，有 　　）（正定性）d()0,且d()=0当且仅当 x = y； 　　）（对称性）d()=d()； 　　）（三角不等式）d()d()+d） 　　则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。）） 2 赋范线性空间 （1）赋范线性空间的定义： 设X是实（或复）的线性空间，如果对每个向量X有一个确定的实数，记为 a) b) c) 则称 3 巴拿赫空间巴拿赫空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。是用波兰数学家巴拿赫的名字命名的是域上的线性空间，对任意，有一个中数与之对应，使得对任意；满足 ；＝0，当且仅当　； ＝； ； ＝＋； 称是上的一个内积，上定义了内积称为内积空间。 5 Hilbert空间 （1）Hilbert空间的定义： 设是内积空间，对任意，命是完备的。则称H是Hilbert空间 二 泛函分析中的算子 1有界线性算子 自伴算子，酉算子和正常算子 共轭算子 逆算子 紧急和全连续算子 三 泛函分析与其他学科的联系 1 泛函分析中的压缩映射原理及其应用： 压缩映射原理的定义：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点，即方程有且只有一个解 应用： 证明数学分析中的隐函数存在定理 证明常微分方程解的存在性和唯一性定理 提供了一些求方程的解的存在性的方法-逐次逼近法，即只要取 其实泛函分析与数学中的其他学科也有非常密切的联系，例如，拓扑学等等。这里我就不介绍了。 参考文献 齐霄霏等，实变函数与泛函分析基础，第二版，中国时代经济出版社，2007.5 程基襄等，实变函数与泛函分析基础，第二版，高等教育出版社，2003 泛函分析结课论文 数理学院 数学系 08级5班 赵旭 学号